10. Sınıf Geometri Konu Anlatımı

Konu 'Geometri 10. Sınıf' bölümünde Moderatör Sümeyye tarafından paylaşıldı.

  1. Moderatör Sümeyye

    Moderatör Sümeyye Süper Moderatör Yönetici Süper Moderatör

    Katılım:
    25 Mayıs 2012
    Mesajlar:
    5.397
    Beğenileri:
    4.144
    Ödül Puanları:
    113

    DOĞRUDA AÇILAR;





    [​IMG]



    AÇILAR
    Başlangıç noktaları ortak iki ışının birleşimine açı denir.
    şekilde [AC ve [AB ışınının oluşturduğu açı BAC açısıdır.
    [ABÈ[AC = BAC açısıdır.BAC, CAB olarak veya A ile
    gösterilir.[AB ve [AC ışınları açının kenarları,



    A noktası açının köşesidir.
    Açı yazılırken açının köşesi olan nokta ortada yazılır.




    1. Açının Ölçüsü
    [AB ile [AC arasındaki açıklığın ifadesine açının ölçüsü
    denir. BAC açısının ölçüsü a dır.m(BAC) = a veya
    m(A) = a olarak gösterilir.



    [​IMG]



    ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.
    2. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
    Bir açı düzlemi üç bölgeye ayırır.
    a. Açının kendisi
    [AB ve [AC ışınları.
    b. İç bölge (taralı alan)
    c. Dış bölge





    [​IMG]



    3. Açı ölçü birimleri
    Açı ölçüsü birimi olarak genelde derece kullanılır. Dereceden başka Grad ve Radyan birimleri de kullanılır. Açı ölçüsü birimleri arasında,
    360° = 400 G(grad) = 2p (radyan) eşitliği vardır.
    Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile elde edilen açı 360° dir.
    Derecenin alt birimleri
    1° = 60' (dakika)
    1' = 60" (saniye)
    1° = 3600" dir.
    90° = 89° 59' 60" ve
    180° = 179° 59' 60" olur.





    [​IMG]



    4. Ölçülerine göre açılar
    a. Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan açılara dar açı denir.




    [​IMG]


    [​IMG]


    b. Ölçüsü 90° olanaçılara dik açı denir



    c. Ölçüsü 90° ile 180° arasında olan açılara geniş açı denir.



    d. Ölçüsü 180° olan açılara doğru açı denir.



    [​IMG]


    [​IMG]


    e. Ölçüsü 360° olan açıya tam açı denir.




    [​IMG]


    5. Komşu açılar
    Köşeleri ve birer ışınları ortak olan, iç bölgesi ortak olmayan açılara komşu açılar denir.
    CAD ile DAB komşu açılardır.





    [​IMG]



    6. Açıortay
    Açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir.
    [AD, CAB açısının açıortayıdır.
    Açıortay üzerinde alınan her noktanın açının kollarına olan dik uzaklıkları eşittir.


    [​IMG]


    7. Tümler açı
    Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.
    m(CAD)+m(DAB)=90°
    a+b=90°
    a açısının tümlerinin ölçüsü (90° a) dır.





    [​IMG]


    Komşu tümler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ülçüsü 45° dir.


    [OA] ^ [OB]
    m(KOL) = 45°





    [​IMG]



    8. Bütünler açı
    Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.




    [​IMG]



    m(DAB)+m(CAD)=180°
    x+y=180°
    x açısının bütünlerinin ölçüsü (180° x) dir.
    Komşu bütünler iki açının açıortay doğruları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.



  2. Moderatör Sümeyye

    Moderatör Sümeyye Süper Moderatör Yönetici Süper Moderatör

    Katılım:
    25 Mayıs 2012
    Mesajlar:
    5.397
    Beğenileri:
    4.144
    Ödül Puanları:
    113
    [​IMG]


    m(KOL) = 90°
    9. Ters Açılar
    Kesişen iki doğrunun oluşturduğu açılardan komşu olmayanlara ters açılar denir.
    Ters açıların ölçüleri eşittir.



    m(x)=m(z) ve
    m(t)=m(y) dir.


    [​IMG]





    10. Paralel iki doğrunun bir kesenle yaptığı açılar
    a. Yöndeş açılar
    d1 // d2 ise



    Yöndeş açıların ölçüleri eşittir.


    [​IMG]



    m(a) = m(x) ; m(b) = m(y)
    m(c) = m(z) ; m(d) = m(t)
    b. İçters açılar
    d1 // d2 ise



    a ile z ve b ile t içters açılarıdır.
    İçters açıların ölçüleri eşittir.
    m(a) = m(z); m(b) = m(t)




    [​IMG]



    Dışters açılar
    d1 // d2 ise



    Dışters açıların ölçüleri eşittir.
    m(c)=m(x)=m(d)=m(y)




    [​IMG]



    d. Karşı durumlu açılar
    d1 // d2 ise





    [​IMG]



    Karşı durumlu açıların toplamı 180° dır.
    m(a) + m(t) = 180°; m(b) + m(z) = 180°



    Karşı durumlu açıların açıortayları arasındaki açının ölçüsü 90° dir.
    Paralel doğrular arasında birden fazla kesenin olduğu durumlarda kesişim noktalarından yeni paraleller çizilir.


    e. Birden fazla kesenli durumlar
    d1 // d2 ise
    B noktasından d1 ve d2 doğrularına paralel çizersek m(ABC) = a + b olur.




    [​IMG]



    B noktasından paralel çizersek m(ABD) + x = 180°
    m(DBC) + z = 180° buradan
    x + y + z = 360° dir.




    [​IMG]




    f. Paralel doğrular arasındaki ardışık zıt yönlü açılar
    d1 // d2 ise a + b + c = x + y olur.
    Bu tür soruları kırılma noktalarından paraleller
    çizerek de çözebiliriz.





    [​IMG]



    g. Kolları paralel ve kolları dik açılar
    Açıları oluşturan ışınlar aynı yönde ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.




    [​IMG]


    [​IMG]



    Açıları oluşturan ışınlar zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüsü eşittir.


    Açıları oluşturan ışınlardan biri aynı diğeri zıt yönlü ve paralel ise bu iki açının ölçüleri toplamı;
    a + b = 180° olur.





    [​IMG]


    [​IMG]


    [​IMG]



    Kenarları birbirine dik karşılıklı iki açının ölçüleri toplamı
    a + b = 180° olur.



    Kenarları şekildeki gibi birbirine dik açıların ölçüleri eşittir.
  3. Moderatör Sümeyye

    Moderatör Sümeyye Süper Moderatör Yönetici Süper Moderatör

    Katılım:
    25 Mayıs 2012
    Mesajlar:
    5.397
    Beğenileri:
    4.144
    Ödül Puanları:
    113
    ÜÇGEN;


    Düzlemde doğrusal olmayan üç noktanın ikişer ikişer birleştirilmesiyle elde edilen geometrik şekle üçgen denir.


    [​IMG]



    üçgenin açıları ve kenarları asıl elemanlarıdır.




    Üçgenin Yardımcı Elemanları
    1. Kenarortay



    Üçgenin bir köşesini karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına o kenara ait kenarortay denir.



    [​IMG]




    Va: a kenarına ait kenarortay

    Kenarortayların kesim noktasına üçgenin ağırlık merkezi denir.



    2. Yükseklik
    Üçgenin bir köşesinden karşı kenara veya karşı kenarın uzantısına çizilen dik doğru parçasına yükseklik denir.




    [​IMG]



    Yüksekliklerin kesim noktasına diklik merkezi denir.


    3. Açıortay
    Üçgenin bir köşesini, bu köşedeki açıyı ortalayacak biçimde karşı kenara birleştiren doğru parçasına açıortay denir.




    [​IMG]



    Açıortayların kesim noktası içteğet çemberin merkezidir.


    4. Orta Dikme
    Üçgenin kenarının orta noktalarından çizilen dikmenlere orta dikme denir.



    [​IMG]



    Orta dikmelerin kesim noktası üçgenin çevrel çemberinin merkezidir.


    Üçgende Açı Özellikleri
    1. Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° dir.



    [​IMG]



    2. Üçgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir.




    [​IMG]



    3. Üçgende iki iç açının ölçüleri toplamı, bu açılara komşu olmayan dış açının ölçüsüne eşittir.



    [​IMG]
  4. Özlem

    Özlem Bu ülke sizi de unuttu(!) - SOMA Özel Üye

    Katılım:
    15 Ekim 2009
    Mesajlar:
    4.040
    Beğenileri:
    3.106
    Ödül Puanları:
    113
    Yer:
    Konya
    Konuyu Sabitliyorum , yalnız bilgiler bu kadarla sınırlı kalmasın .

    İyi Forumlar..
  5. Moderatör Sümeyye

    Moderatör Sümeyye Süper Moderatör Yönetici Süper Moderatör

    Katılım:
    25 Mayıs 2012
    Mesajlar:
    5.397
    Beğenileri:
    4.144
    Ödül Puanları:
    113
    tabiki canım,devamı mutlaka gelecek,Teşekkür ettim ;)
  6. Moderatör Sümeyye

    Moderatör Sümeyye Süper Moderatör Yönetici Süper Moderatör

    Katılım:
    25 Mayıs 2012
    Mesajlar:
    5.397
    Beğenileri:
    4.144
    Ödül Puanları:
    113
    ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI;




    1. Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür.



    [​IMG]

    ABC üçgeninde m(A) > m(B) > m(C)
    a > b > c


    Terside geçerlidir. Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür.


    İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir.

    m(B) = m(C) => |AB| = |AC|

    m(A) < m(B) = m(C) ise

    |BC| < |AB| = |AC| olur.



    [​IMG]



    Bir üçgende bir tane geniş açı olabileceğinden geniş açının karşısındaki kenar daima en büyük kenar olur.
    2. Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden büyüktür.
    ABC üçgeninde


    lb - c l <a < (b + c)

    Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir.



    [​IMG]



    |a – c| < b < (a + c) ve |a – b| < c < (a + b) olur.



    3. Dik, dar ve geniş açılı üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler.
    a. Bir dik üçgende



    kenarlar arasında

    a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır.

    [​IMG]

    b. Dar açılı üçgen
    b ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür.

    m(A) < 90° Û a2 < b2 + c3


    [​IMG]


    c. Geniş açılı üçgen
    b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da büyür.

    m(A) < 90° Û a2 > b2 + c3


    [​IMG]


    4. Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması,



    [​IMG]


    |AH| = ha ; yükseklik

    |AN| = nA ; açıortay

    |AD| = Va ; kenarortay

    ha< nA <Va



    5. Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama;

    ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır.

    m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım.

    Bu durumda üçgende


    [​IMG]



    kenarlar : a > b > c

    yükseklikler : ha < hb < hc

    Açıortaylar : nA < nB < nC

    Kenarortaylar : Va < Vb < Vc


    şeklinde sıralanırlar. Yani üçgenin yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır.


    Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir.
    6. Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden içtekinin çevresi daha küçük olur.



    |BD| + |DC| < |AB| + |AC|



    [​IMG]




    ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir.
    ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür.



    [​IMG]



    a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD|


    köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha büyük ve çevrenin yarısından daha küçük olamaz.




    İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından
    |DA| + |AB| + |BC|

    toplamı |DE| + |EF| + |FC|

    toplamından daha büyüktür.


    [​IMG]
    7. ABC üçgeninin içindeki herhangi bir P noktası için;
    |AP| + |BP| + |CP|


    toplamı ABC üçgeninin çevresinden büyük, çevresinin yarısından küçük olamaz.



    [​IMG]


    [​IMG]


    Burada ve Çevre/2 değerleri sınır değer değildir.
  7. Moderatör Sümeyye

    Moderatör Sümeyye Süper Moderatör Yönetici Süper Moderatör

    Katılım:
    25 Mayıs 2012
    Mesajlar:
    5.397
    Beğenileri:
    4.144
    Ödül Puanları:
    113
    DİK ÜÇGEN;


    Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir.


    [​IMG]



    [​IMG]



    Dik üçgende;Hipotenüse ait kenarortay uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısıdır. (Muhteşem üçlü)



    [​IMG]


    [​IMG]


    [​IMG]


    [​IMG]


    [​IMG]


    Özellik;


    30° – 60° – 90° Dik Üçgeni



    [​IMG]


    [​IMG]



    [​IMG]


    [​IMG]
  8. Moderatör Sümeyye

    Moderatör Sümeyye Süper Moderatör Yönetici Süper Moderatör

    Katılım:
    25 Mayıs 2012
    Mesajlar:
    5.397
    Beğenileri:
    4.144
    Ödül Puanları:
    113
    İKİZKENAR ÜÇGEN;


    İki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlere ikizkenar üçgen denir.

    [​IMG]

    Özellik;

    [​IMG]

    ABC ikizkenar üçgeninde [AH] hem yükseklik, hem kenarortay, hemde açıortay olur.

    [​IMG]

    İkizkenar üçgende aynı doğru parçası hem yükseklik hem kenarortay olursa bu üçgen ikizkenar üçgendir.


    [​IMG]

    İkizkenar üçgende aynı doğru parças› hem yükseklik hem de açıortay oluyorsa bu üçgen ikizkenar üçgendir.

    [​IMG]

    İkizkenar üçgende aynı doğru parçası hem açıortay hem de kenarortay oluyorsa bu üçgen ikizkenar üçgendir.



    [​IMG]

    [​IMG]



    [​IMG]

    [​IMG]



    [​IMG]

    [​IMG]







  9. Moderatör Sümeyye

    Moderatör Sümeyye Süper Moderatör Yönetici Süper Moderatör

    Katılım:
    25 Mayıs 2012
    Mesajlar:
    5.397
    Beğenileri:
    4.144
    Ödül Puanları:
    113
    EŞKENAR ÜÇGEN;


    1. Eşkenar üçgende bütün açıortay, kenarortay yükseklikler çakışık ve hepsinin uzunlukları eşittir.nA = nB = nC = Va = Vb = Vc = ha = hb = hc

    [​IMG]


    2. Eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek yükseklik Bu durumda eşkenar üçgenin alanı;


    [​IMG]

    [​IMG]

    [​IMG]

    yükseklik cinsinden alan değeri

    [​IMG]

    Alan(ABC) =

    3. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dik uzunlukların toplamı, eşkenar üçgene ait yüksekliği verir.Bir kenarı a olan eşkenar üçgende;


    [​IMG]

    [​IMG]

    4. Eşkenar üçgenin içindeki herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin toplamı bir kenar uzunluğuna eşittir.

    [​IMG]

    Bir kenarı a olan ABC eşkenar üçgeninde

    [​IMG]
  10. Moderatör Sümeyye

    Moderatör Sümeyye Süper Moderatör Yönetici Süper Moderatör

    Katılım:
    25 Mayıs 2012
    Mesajlar:
    5.397
    Beğenileri:
    4.144
    Ödül Puanları:
    113
    AÇIORTAY TEOREMLERİ;


    1. Açıortay

    Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir.

    Yandaki şekilde AOB açısını iki eş açıya ayıran [OC ışınına açıortay denir.


    http://geometri.us/pc/GEOM1_dosyalar/image116.gif


    [COLOR="DeepSkyBlue"]Açıortay üzerindeki herhangi bir noktadan açının kenarlarına çizilen dik uzunluklar eşittir.

    AOB bir açı,

    [OC açıortay

    m(AOC) = m(COB)

    |AC| = |CB|

    m(AOC) = m(COB)

    AOC ve BOC eş

    üçgenler olduğundan[/COLOR]

    |OA| = |OB|[IMG]http://geometri.us/pc/GEOM1_dosyalar/image117.gif


    2. İç Açıortay Bağıntısı

    ABC üçgeninde [AN] açıortay ABN ve ANC üçgenlerinin

    [BC] tabanına göre, yükseklikleri eşit olduğundan

    [​IMG]

    olur .....(1)

    [​IMG]


    ABN üçgeninde [AB] kenarına ait yükseklik ANC üçgeninde

    [AC] kenarına ait yüksekliğe eşittir.

    [​IMG]


    olur .....(2)

    [​IMG]


    [AN] açıortay olmak şartıyla bu iki alan oranını birleştirirsek; (1) ve (2) den

    [​IMG]

    olur

    ABC üçgeninde [AN] açıortay olmak şartıyla

    [​IMG]

    Buradan [​IMG] ve b.y=c.x eşitlikleri de elde edilir.

    [​IMG]


    3. İç Açıortay Uzunluğu

    ABC üçgeninde A köşesinden çizdiğimiz açıortay

    uzunluğuna nA dersek


    [​IMG]

    [​IMG]


    4. Dış Açıortay Bağıntısı

    ABC üçgeninde [AD], A köşesine ait dış açıortaydır.

    [​IMG]

    [​IMG]


    Ardda3 bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş