analitik geometri(analitik inceleme)

Konu 'Matematik 12. Sınıf' bölümünde hilly tarafından paylaşıldı.

Konu Durumu:
Mesaj gönderimine kapalı.
  1. hilly

    hilly Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    15 Şubat 2009
    Mesajlar:
    1.548
    Beğenileri:
    1.711
    Ödül Puanları:
    113

    ANALİTİK GEOMETRİ

    DOĞRU ANALİTİĞİ




    Soru 1 bir koordinat sisteminde A(m+3,n-1) noktası,IV. Bölgede ise B(m,n) noktası nedir?

    Çözüm:

    A(m+3,n-1) noktası IV. Bölgede ise
    m+3>0 ------- m > -3
    n-1<0 ------ n<1
    =(-2,-1)

    Soru 2: A(-3,7) ve b(5,1) noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

    Çözüm:


    |AB|=√ (-3-5)2+(7-1)2

    =√64+36 = √100 =10 BİRİMDİR.


    Soru 3: A(-1,3) noktasını orjine göre uzaklığı kaç birimdir?

    Çözüm:

    |OA|=√(-1)2+(3)2 = √1+9 =√10

    Soru 4: Analitik düzlemde A(-2,1) ve b(4,5) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların
    geometrik yerinin denklemi nedir?

    Çözüm:

    Orta dikme doğrusu

    √(x+2)2(y-1)2 = √(x-4)2+(y-5)2

    x2+4x+4+y2-2y+1=x2-8x+16+y2-10y+25

    A(-2,1) B(4,5)
    4x-2y+5=-8x-10y+41
    3x+2y-9=0 C(x,y)
    Soru 5: A(1,4) ve B(3,-10) noktaları veriliyor.|AB| ‘nin orta noktasının orjine uzaklığı kaç birimdir?

    Çözüm:

    |AB|’nin orta noktası C(x0 , y0) olsun.

    x0 = 1 + 3 = 2 y0 = 4 – 10 = -3 olup.
    2 2


    C(2,-3)noktasının orjine uzaklığı;

    |OC|=√22+(-3)2 = √13 BİRİMDİR.




    Soru 6: Köşelerinin koordinatları; A(6,7), B(-1,2) C(7,4) olan üçgenin Va kenarortay uzunluğu kaçtır?



    Çözüm:

    |BC|’nin orta noktası

    D(x0,y0) ise;

    x0= -1+7 = 3
    2


    y0= 2+4 = 3 olur.
    2


    Buna göre,
    Va = |AD| = √(6-3)2+(7-3)2 = √9+16 =5 olur.




    Soru 7: Köşe noktalarının koordinatları,A(-4,5) , B(-2,7) , C(6,10) , D(a,b) olan ABCD paralel kenarında D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

    Çözüm:

    -4+6 = -2 + a a = 4

    5+10 = 7+b b = 8

    a + b=4+8 =12 olur.


    Soru 8: A(5,-2) ve B(-3,4) noktaları veriliyor. |AC|
    = 3 olacak şekilde dışarıdaki doğrusal
    |BC|
    C(x0,y0) noktasının koordinatları nedir?


    Çözüm:

    A(5,-2),B-3,4) ve k = 3 olduğundan:

    5-3(-3) -2-3.4
    x0= = -7 ve y0= = 7
    1-3 1-3


    bulunur ve böylece C(x0,y0) = C(-7,7) elde edilir.


    Soru 9: Analitik düzlemde köşelerinin koordinatları A(5,4),B(-1,2) ve C(a,b) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları G(4,3) ise a+b kaçtır?

    Çözüm:

    4 = 5-1+a a = 8 , 3 = 4+2+b b = 3
    3 3


    buradan a+b = 8+3 = 11 olur.



    Soru 10: Köşe noktalarının koordinatları A(-2,6) B(3,-1 ve C(4,5) olan ABC üçgeninin
    alanı kaç birim karedir?


    Cevap 10:


    -2 6
    3 -1
    4 5
    A(ABC)= 1 . -2 6 = 1 |2+15+24-18-(-4)-(-10)| = 37
    2 2 2





    Soru 11: A(1,-2) ve B(p,3) noktalarından geçen doğru Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yaptığına göre p kaçtır?

    Çözüm:

    a = 45 m = tan 45 = 1

    3-(-2) 5
    1=──── = ── 5=p-1 p = 6 olur.
    p-1 p-1



    Soru 12: A(-2,3) , B(1,-3) , C(5,1) ve D(1,k) noktaları veriliyor.AB // CD ise k sayısı kaçtır?


    Çözüm:

    AB // CD olduğundan bu doğruların Ox ekseni ile yaptığı açılar ve dolayısıyla bu doğruların eğimleri birbirine eşittir.
    -3-3 k-1
    mAB = mCD ───── = ─── k=9 olur.
    1-(-2) 1-5

    Soru 13: A(2p-1,4) ve B(p+3,2) noktalarından geçen doğru Ox eksenine dik ise P kaçtır?


    Çözüm:
    2-4
    a = 90 m = ∞ = ────────
    p+3-(2p-1)

    -2
    ∞ = ──── -p+4 = 0 p=4 olur.
    -p+4


    Soru 14: Ox ekseni ile pozitif yönde 45 derecelik açı yapan ve (-2,1) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

    Çözüm:

    a = 45 m = tan45 = 1

    Eğimi, m = 1 olan A(-2,1) noktasından geçen doğru denklemi;

    y-1 = 1(x+2) y-x-3 = 0 olur.


    Soru 14: Eğimi -3 olan ve A(-1,2) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?

    Çözüm

    Doğrunun eğimi -3 olduğundan denklem y = -3x+n şeklindedir.Ve doğru A(1,-2) noktasından geçtiği için A(1,-2) noktasının koordinatları doğru denklemini sağlamak zorundadır.Buna göre,-2 = -3.1+n n = 1 elde edilir.Ve doğru denklemi

    y = -3x+1 şeklinde bulunmuş olur.


    Soru 15: A(-3,2) ve b(1,-6) noktalarında geçen doğrunun denklemi nedir?
    Cevap:
    A(x1,y1) = A(-3,2) ve B(x2,y2) = B(1,6) olsun

    y-(-6) -6-2 y+6
    ──── = ───── ──── = -2 y+6=-2(x-1) y+2x+4 = 0’ dır.
    x-1 1-(-3) x-1
    Soru 15: Dik koordinat düzlemindeki d doğrusunun denklemi nedir?

    Çözüm:

    A(-2,0) ve B(0,3) noktalarından geçen doğru denklemi;

    x y
    ── + ── = 1 3x-2y+6 = 0‘dır.
    -2 3


    Soru 16: y = 3x-6 denklemi ile verilen doğrunun grafiğini çiziniz.

    Çözüm:

    y
    y = 3x-6 denkleminde
    y = 3x-6 x = 0 y = -6;A(0,-6)
    y = 0 3x-6 = 0 x=2;b(2,0)
    A(0,-6)ve B(2,0) noktaları birleştirilirse
    x y = 3x-6 doğrusunun grafiği çizilmiş olur
    (2,0)


    (0,-6)



    Soru 17: 2x-y+4 = 0 ve x+y+2=0 doğrularının kesiştikleri nokta nedir?

    Çözüm:

    2x-y+4 = 0
    taraf tarafa toplama yapılırsa
    x+y+2 = 0


    3x+6 = 0 x = -2 elde edilir.
    Denklemlerden herhangi birinde x = -2 yazılırsa y = 0 bulunur.Buna göre,bu iki doğru (-2,0) noktasında kesişirler.



    Soru 18: Dik koordinat düzleminde 2x-5y-4 = 0 doğrusuna paralel olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi nedir?


    Çözüm:

    2 4 2
    2x-5y-4 = 0 y = ──x - ── olup,bu doğrunun eğimi m1=──’tir.
    5 5 5
    2
    Paralel doğruların eğimleri birbirlerine eşit olacağından m2=── olmalıdır.
    2 5
    Buna göre,eğimi m2=── olan ve A(3,4) noktasından geçen doğrunun denklemi;
    5
    2
    y-4 = ── (x-3) 2x-5y+14 = 0 olur.
    5


    Soru 19: Analitik düzlemde;
    d1: (a-3)x+y-1 = 0
    d2: (a+2)x-2y+5 = 0 doğruları veriliyor.

    d1 ile d2 doğruları birbirine paralel ise a kaçtır?


    Çözüm:


    Burada a1 = a-3 , b1 = 1 , a2 = a+2
    a1 b1
    Ve b2 = -2’dir.Paralel doğrularda ── = ── olacağından .
    a2 b2
    a-3 1
    ─── = - ── 2a-6 = -a -2 3a = 4
    a+2 2

    4
    a = ──
    3


    Soru 20: Denklemleri (m+2)x+4y-2 = 0 ve 3x-(2n+1)y+1 = 0 olan doğrular çakışık ise m + n kaçtır?

    Çözüm:

    Doğruların çakışık olması için,

    m+2 4 -2
    ──── = ───── = ── olmalıdır.Buna göre;
    3 -(2n+1) 1

    m+2 = -6 m = -8

    1 1 -15
    4n+2 = 4 n = ── m+n = -8 + ── = ── olur.
    2 2 2

    Soru 21: 2x+y-1 = 0 ve 3x+2y-6 = 0 doğruların kesiştiği noktadan geçen doğru demetinin denklemi nedir?

    Çözüm:

    2x+y-1+k(3x+2y-6) = 0

    (3k+2)x+(2k+1)y-6k-1 = 0’dır.


    Soru 22: (2k-1)x+(k+3)y+2k+1 = 0 denklemi ile verilen doğruların kesiştiği noktanın koordinatları nedir?

    Çözüm:

    (2k-1)x+(k+3)y+2k+1 = 0

    -x+3y+1+k(2x+y+2) = 0

    0+k.0 = 0 olduğundan,

    -x+3y+1 = 0 5 4
    denkleminin sisteminin çözüm kümesi ( - ──,- ── )‘dir. 2x+y = 2 = 0 7 7


    Soru 23: A(-2,3) noktasından geçen ve d1: 2x-y+1 = 0 doğrusuna dik olan d2 doğrusunun denklemi nedir?


    Çözüm:

    d1: 2x-y+1 = 0 m1 = 2 1
    m1.m2 = -1 2.m2 = -1 m2 = - ──
    2
    1
    Buna göre eğimi “m2 = - ── ” olan ve A(-2,3) noktasından geçen doğru denklemi;
    2
    1
    y-3 = ── (x+2) 2y+x-4 = 0 bulunur.
    2

    Soru 24:
    d1: (m+2)x-2y+1 = 0 ve
    d2: 3x+(2m-1)y+2 = 0 denklemleri ile verilen doğrular birbirine dik ise m kaçtır?

    Çözüm:
    a1a2+b1b2 = 0
    (m+2).3+(-2).(2m-1) = 0

    -m+8 = 0 m = 8

    1
    Soru 25: Koordinat düzleminde d1: y = ── x-2 ve d2:-2x+y+1 = 0 doğruları arasındaki dar
    3
    açı kaç dercedir?

    Çözüm:
    1 1
    d1: y = ── x-2 m1 = ──
    3 3
    bu iki doğru arasındaki açı “v” olsun.
    d2: -2x+y+1 = 0 m2 = 2



    m2-m1
    tanv = ───── = 1 tanv = 1 v = 45 derecedir.
    1+m2
    Soru 26: Analitik düzlemde d1: √3 x – y +1 = 0 ve d2: x+y-2 = 0 doğruları arasındaki açı
    kaç derecedir?

    Çözüm:


    d1: √3 x-y+1 = 0 m1 = √3 a = 60 , m2 = -1 B = 135


    2 Bu takdirde bu iki doğru arasındaki geniş
    105 açı 105 derecedir.
    1
    75
    60 135
    1 2
    ──
    √3 d2: x+y-2 = 0



    Soru 27: Analitik düzlemde A(3,-2) noktasının -4x+3y+3 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

    Çözüm:

    |-4.3+3(-2)+3| |-15|
    ───────── = ─── = 3 birimdir.
    √(-4)2+32 5

    Soru 28:
    d1: 3x+y+2 = 0 ve
    d2: 6x+2y-16 = 0 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

    Çözüm:
    Verilen her iki denklemde de x’in ve y’nin katsayıları eşitlenmelidir.Bunun için ya d1’in denklemi 2 ile çarpılmalı veya d2’nin denklemi 2 ile sadeleştirilmelidir.


    d1: 3x+y+2 = 0 c1 = 2 d2: 6x+2y-16 = 0 3x+2y-8 = 0 c2: -8

    d1 d2 doğruları arasındaki uzaklık; |2-(-8)| 10
    ──── = ─── = √10 birim.
    √32+12 √10
    Soru 29: 2x+y-1 = 0 ve x-2y+7 = 0 denklemleri ile verilen doğrulara eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir?

    Çözüm:

    Kesişen iki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bu iki doğrunun oluşturduğu açıortay doğrularıdır.

    2x+y-1 x-2y+7
    ────── = ─────
    √22+12 √12+(-2)2

    2x+y-1 = x-2y+7 x+3y-8 = 0

    2x+y-1 = -(x-2y+7) 3x-y+6 = 0 olur.


    Soru 30: Analitik düzlemde A(2,4) noktasının B(x,y) noktasına göre simetriği C(-2,6) noktası ise x+y değeri kaçtır?

    Çözüm:

    |AB| = |BC| olduğundan

    2-2 4+6
    x = ───── = 0 y = ───── = 0
    2 2

    olup x+y = 5 olur.


    Soru 31: Koordinat düzleminde A(4,-1) noktasının Ox eksenine göre simetriği B,orjine
    göre simetriği C noktası ise ABC üçgeninin alanı kaç birim karedir?

    Çözüm:

    A(4,-1 ) noktasının Ox eksenine göre simetriği B(4,1) , orjine göre simetriği C(-4,1)
    noktası olduğundan |AB| =2br.,|BC| = 8 br olup

    2.8
    A(ABC) = ──── = 8 birim kare olur.
    2
    Soru 32: A(3,-2)noktasının y = -x doğrusuna göre simetriği y = ax+3 doğrusu üzerinde bulunuyor ise a kaçtır?

    Çözüm:

    A(3,-2) noktasının y = -x doğrusuna göre simetriği B(2,-3) olup, bu nokta y = ax+3
    doğrusu üzerinde olduğundan ;
    -3 = 2a+3 a = -3 olur.


    Soru 33: A(a,b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B noktası,B noktasının Oy eksenine göre simetriği C(2a,-3) noktası ise a+b kaçtır?


    Çözüm:

    A(a.b) noktasının, y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a);B(b,a) noktasının Oy eksenine
    göre simetriği C(-b,a) olur.

    C(-b,a) = C(2a,-3) a= -3 ve –b = 2a olur.

    b = 6 olup a+b = -3+6 = 3 bulunur.


    Soru 34: Dik koordinat sisteminde A noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B,B noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriği C(-2,1) ise,A noktasının koordinatları nedir?

    Çözüm:

    A(a.b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B(b,a) , B(b,a) noktasının x = 2 doğrusuna göre simetriği C(4-b,a) = C(-2,1) b = 6 ve a = 1 bulunur.

    Buna göre,A(a,b) = A(1,6) olur.

    Soru 35: A(-4,3) noktasının d doğrusuna göre simetriği B(2,-5) noktası ise A noktasının d doğrusuna uzaklığı nedir?

    Çözüm:

    |AB| = √(-4-5)2+(3+5)2 = 10 birim.
    |AB| 10
    Buna göre,A noktasının d doğrusuna uzaklığı , ───── = ──── = 5 birimdir.
    2 2
    Soru 36: A(4,-2) noktasının d: 2x-y+1 = 0 doğrusuna göre simetriği nedir?


    Çözüm:

    A(4,-2)noktasının d: 2x-y+1 = 0 doğrusuna göre simetriği B(x2,y2) olsun.

    y2 + 2
    ─────── * 2 = -1 2y2+x2 = 0…(1)
    x2-4


    4+x2 -2+y2 y2
    2 * ────── - ───── +1 = 0 x2 - ── = -6 …(2)
    2 2 2

    24 12
    (1) ve (2) denkleminden x2 = - ── , y2 = ── olarak bulnur.
    5 5


    Soru 37: d1: 2x-y+7 = 0 doğrusunun eksenlere ve orjine göre simetrilerini bulunuz.


    Çözüm:


    d1: 2x-y+7 = 0 doğrusu için

    (x,y) Ox (x,-y)

    d1: 2x-y+7 = 0 d2 : 2x+y+7 = 0

    (x,y) Oy (-x,y)

    d1:2x-y+7 = 0 Oy d3: -2x-y+7 = o

    (x,y) ORJİN(0.0) (-x,-y)

    d1: 2x-y+7 = 0 d 4:-2x+y+7 = 0 olur.



    a b-a
    Soru 38: Analitik düzlemde A( a, ── ) noktası IV. Bölgede ise B( 2b, ─── ) hangi
    b b
    bölgededir?

    Çözüm:
    a a
    A( a, ── ) noktası IV: bölgede olduğundan a > 0 ,── < 0 olup buradan b < 0 olur.
    b b
    b-a
    a > 0 , b < 0 2b < 0 , b-a < 0 ve ─── > 0 olur.
    b

    Bundan dolayı B noktasının apsisi negatif ordinatı pozitif olduğundan bu nokta II. bölgededir.

    Soru 39: Dik koordinat düzleminde köşe noktalarının koordinatları A(0,-1) , B(3,6) ve C(5,-2) olan ABC üçgeninde |BC| kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç birimdir?

    Çözüm:

    B(3,6) |BC| nin orta noktası D(x0,y0) olsun.Buna göre

    3+5 6-2
    x0 = ───── = 4 y0 = ──── = 2 olur.
    D(x0,y0) 2 2

    Buna göre |BC| ye ait kenarortayın uzunluğu

    A(0,-1) C(5,-2) |AD| = √(4-0)2 + (2+1)2 = 5 birim olur.


    Soru 40: Dik koordinat düzleminde A(a,-1) , B(a+3,8) ve C(-3,a-1) noktalarının doğrusal olabilmesi için a kaç olmalıdır?

    Çözüm:

    ABC doğrusal ise eğimler eşit olur. mAB = mBC = mAC
    Bunlardan mAB = mBC yi kullanırsak.

    8+1 a-9 9
    mAB = mBC ───── = ──── a = - ──
    a+3-a -a-6 4
    Soru 41: Analitik düzlemde A(1,2) ve B(2,5) noktalarının y = x doğrusu üzerindeki bir K noktasına uzaklıkları eşittir. Buna göre,K noktasının koordinatları nedir?

    Çözüm:

    y = x doğrusu üzerinde A(1,2) ve B(2,5) noktalarına
    5 --------------- B eşit uzaklıktaki nokta K(a,a) olsun.
    y = x
    A √(a,1)2 + (a-2)2 = √(a-2)2 + (5a-5)2
    2 --------- K(a,a)
    (a-1)2 + (a-2)2 = (a-2)2 + (a-5)2

    x a2 – 2a+1 = a2-10a+25
    1 2
    -2a+10a = 25-1

    8a = 24 a = 3

    K(3,3) olur.


    Soru 42: Dik koordinat düzleminde A(-4,1) ve B(4,3) noktalarına eşit uzaklıktaki
    noktaların geometrik yerinin denklemi nedir?

    Çözüm:
    3-1 2 1
    AB doğrusunun eğimi mAB = ── = ── = ──
    4+4 8 4


    A(-4,1) C(0,2) B(4,3) AB ┴ d olduğunda mAB.md = -1 olduğundan

    1
    ── . md = -1 md = -4
    4
    |AB| doğru parçasının orta noktasının
    -4+4
    koordinatları Xc = ──── = 0
    2
    1+3
    Yc = ─── = 2 C(0,2) olduğundan;
    2



    Soru 43: Analitik düzlemde A(1,7) ve B(7,5) noktaları veriliyor.Buna göre,O ekseni üzerinde,|AK| + |KB| en küçük olabilecek şekilde K(x0,0) noktasının apsisi kaçtır?


    Çözüm:


    B noktasının Ox eksenine göre simetriği Bı noktası olsun. Bu durumda |KB| = |KBı|
    ve dolayısıyla |AK| + |KB| = |AK| + |KBı| olur. |AK| +|KB| nin en küçük olması demek
    |AK| + |KBı| toplamının en küçük olması demektir.Bunun için ise A.K ve Bı
    noktalarının doğrusal olması gerekir.Buna göre;

    0-5 -5-0 9
    mAK = mKBı ─── = ─── x0 = ── = 4,5 olur.
    x0-1 7-x0 2


    Soru 44: Analitik düzlemde A(-3,4) ve B(1,8) noktaları ve Ox ekseni üzerinde değişken
    bir C(a,0) noktası veriliyor. │|AC| - |BC| │ en küçük değeri aldığında C noktasının apsisi
    “a” kaçtır?


    Çözüm:

    │|AC|-|BC|│ nin en küçük olması |AC| = |BC| olmasıyla mümkündür.Buna göre;


    √(a+3)2 + (0-4)2 = √(a-1)2 + (0-8)2

    a2+6a+25 = a2-2a+65
    8a = 40 a = 5 olur.
    Pounce bunu beğendi.
Konu Durumu:
Mesaj gönderimine kapalı.

Sayfayı Paylaş