çarpanlara ayırma

Konu 'Matematik 10. Sınıf' bölümünde yelken tarafından paylaşıldı.

  1. yelken

    yelken Üye

    Katılım:
    7 Aralık 2007
    Mesajlar:
    77
    Beğenileri:
    57
    Ödül Puanları:
    6

    Tam Kare Özdeşliği:
    a) İki Terim Toplamının Karesi : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
    b) İki Terim farkının Karesi : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

    İki terim toplamının ve farkının karesi alınırken; birincinin
    karesi,birinci ile ikincinin iki katı, ikincinin karesi alınır.

    Üç Terim Toplamının Karesi:

    (a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2 (ab + ac + bc) şeklindedir

    (a + b – c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab – ac – bc)


    İki Terim Toplamı veya Farkının Küpü :

    a)İki Terim Toplamının Küpü : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

    b) İki Terim Farkının Küpü : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

    Birinci terimin küpü;( ) birincinin karesi ile ikincinin çarpımının 3 katı, (+) birinci ile ikincinin karesinin çarpımının 3 katı,( ) ikin
    cinin küpü biçimindedir. Bu açılımlara Binom Açılımıda denir

    Not:. Paskal Üçgeni kullanılarak 4.,5.,6.,...Dereceden iki terimli
    lerin özdeşliklerini de yazabiliriz



    İki Kare Farkı - Toplamı

    1) a2 – b2 = (a – b)(a + b)

    2) a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab

    3) a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab



    İki küp Toplam veya Farkı :

    a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

    a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)






    xn + yn veya xn - yn biçimindeki polinomların Özdeşliği :


    1) a4 + b4 = (a + b) (a3 – a2b + ab2 – b3)

    a4 – b4 = (a2 + b2) (a + b) (a – b)


    (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 +b4

    (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4

    2) a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2 b2 – ab3 + b4)

    a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2 b2 + ab3 + b4)

    iv) a6 + b6 = (a + b) (a5 – a4b + a3 b2 – a2b3 + ab4 – b5)
    a6 – b6 = (a – b) (a2 + ab + b2) (a+ b) (a2 + ab + b2)

    v) a7 + b7 = (a + b) (a6 – a5b + a4b2 – a3b3 + a2b4 – ab5 + b6)
    a7 – b7 = (a – b) (a6 + a5b + a4b2 + a3b3 + a2b4 + ab5 + b6)


    Özdeşlikleri aşağıdaki şekilleriyle düzenleyerek kullanabiliriz

    1) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

    2) x2 + y2 = (x – y)2 + 2xy

    3) (x – y)2 = (x + y)2 – 4xy

    4) (x + y)2 = (x – y)2 + 4xy

    5) x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy (x – y)

    6) x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy (x + y)

    7) x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + xz + yz)



    ÇARPANLARA AYIRMA KURALLARI



    1) Ortak Çarpan Parantezine Alarak Çarpanlara Ayırma :
    Her terimde ortak olarak bulunan çarpan, parantez dışına alınır. Her terimin ortak çarpana bölümü parantez içine yazılır.

    Aşağıdaki ifadeleri Çarpanlarına ayırınız.
    a) 3a + 3b = 3(a + b) b) 5m – 10mn = 5m (1 – 2)
    c) 12x + 9y =3(4x + 3y) d) 3a2b – 2ab2 = ab (3a – 2b)



    2) Gruplandırma Yaparak Çarpanlara Ayırma :
    Bütün terimlerde ortak çarpan yoksa, terimler ikişer, ikişer, üçer, üçer guruplandırılır. Gruplar ayrı, ayrı ortak çarpanlarına ayrılır.

    ÖRNEKLER:
    1-)ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)
    =x(a+b)+y(a+b)
    =(a+b).(x+y)

    2-)x-ax+2x-2a=(x-ax)+(2x-2a)
    =x(x-a)+2(x-a)
    =(x-1).(a-1)

    3-)ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1)
    =a(x-1)-1(x-1)
    =(x-1).(a-1)

    3) Tam Kare şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :
    Polinom üç terimli ise, ilk ve son terimin kare köklerinin çarpımı nın iki katı ortadaki terimi veriyorsa, bu tam kare şeklinde ifadedir
    a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 – 2ab + b2 = (a – b)2


    İki Kare Farkı Şeklindeki İfadeleri Çarpanlara Ayırma :
    Polinom iki terimli , işaretleri farklı, kare kökleri alınıyorsa; Bu Polinom iki kare farkı biçiminde çarpanlarına ayrılır.
    a2 – b2 = (a + b) (a – b)


    4) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma:

    a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)


    5) İki Küp Toplamı - Farkı İfadeleri Çarpanlara Ayırma:

    a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) , a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

    6) xn yn biçimindeki polinomları Çarpanlara Ayırma:


    a) x4 + 1 = (x + 1) (x3 – x2 + x – 1)
    b) x4 – 1 = (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)
    c) x5 + 25 = (x + 2) (x4 – 2x3 + 4x2 – 8x + 16)
    d) x5 – 1 = (x – 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1)


    7) Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:
    Verilen İfade uygun bir terim ekleme ve çıkarma yolu ile tam kare ve iki kare farkı şeklinde çarpanlara ayırma işlemine benzetilir

    4x4 + 7x2 + 4 ifadesini Çarpanlarına ayırınız.

    4x4 + 7x2 + 4 = 4x4 + 7x2 + 4 + x2 – x2 = 4x4 + 8x2 + 4– x2
    = (2x2 + 2)2 – x2
    2x2 2 = (2x2 + 2 – x) (2x2 + 2 + x)
    2.2x2.2 = 8x2 = (2x2 – x + 2) (2x2 + x + 2)


    Örnek: x2 – 6x + 5 ifadesini x’li terimin kat sayısının yarısının karesini ekleyip-çıkararak çarpanlarına ayırınız.


    x2 – 6x + 5 + 32 – 32 = (x2 – 6x + 32) – 32 + 5 = (x – 3)2 – 4
    = (x – 3 – 2) (x – 3 + 2) = (x – 5) (x – 1)




    8) x2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :
    Çarpımları c, toplamları b olan iki sayı arayacağız.
    Çarpımları (+) ise işaretleri aynı, Çarpımları (–) ise işaretleri farklı
    Toplamları (+) “ “ (+) olur Toplamları (+) “ büyüğü (+) olur
    Toplamları (–) “ “ (–) olur Toplamları (–) “ büyüğü (–) olur



    9) ax2 + bx + c şeklindeki üç terimlileri Çarpanlarına Ayırma :
    ax2 + bx + c = (mx + p) (nx + q)
    mx p
    nx q (mx.q + nx.q = bx oluyorsa)


    6x2 + 7x – 3 = (3x – 1) (2x + 3) olur.
    3x – 1 (3x . 3 – 1. 2x = 9x – 2x = 7x olduğundan)
    2x + 3
    Redbull58 bunu beğendi.
  2. yelken

    yelken Üye

    Katılım:
    7 Aralık 2007
    Mesajlar:
    77
    Beğenileri:
    57
    Ödül Puanları:
    6
    ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER


    Soru-1

    ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)

    Çözüm

    =x(a+b)+y(a+b)
    =(a+b).(x+y)

    Soru-2

    x-ax+2x-2a=(x-ax)+(2x-2a)

    Çözüm

    =x(x-a)+2(x-a)
    =(x-1).(a-1)

    Soru-3

    ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1)

    Çözüm

    =a(x-1)-1(x-1)
    =(x-1).(a-1)

    Soru-4

    (2x-3)-1=

    Çözüm

    = (2x-3)-1
    =[(2x-3)-1].[(2x-3)+1]
    =(2x-3-1).(2x-3+1)
    =(2x-4).(2x-2)
    =4(x-2).(x-1)



    Soru-5

    (298-98)-200.392 =16
    2a

    Çözüm

    = (298-98)(298+98)-200.392 =16
    2a
    = 200.396-200.392 =16
    2a
    =200(396-392) =16
    2a
    =100.4 =16 a=100.4 a=25


    18) a2 + 2ab + b2 = 3 ve c2 + 2ac + 2bc = 6 ise; a + b + c = ?

    c2 + 2ac + 2bc = 6 T.T.T

    4a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 9
    (a + b + c)2 = 9

    ç = {-3, 3}



    19) x = 4 , y = 2 ise, x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = ?

    x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4 – y5 = (x – y)5 = (4 – 2)5= 32


    20) , ise;

    a + b yerine ab yazılırsa

    (a . b)2 – 2ab – 24 = 0 olur.
    a .b = y diyelim.

    y2 – 2y – 24 = 0 y – 6) (y + 4) = 0 y = - 4 ve y = 6





    1) İki sayının toplamı 17, kareleri toplamı 145 ise; bu sayıların
    çarpımı kaçtır?
    x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy 2ab = 289 – 145

    145 = (17)2 – 2ab 2ab = 144 ab = 72 C= 72





    2) a – b = 6 (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab (a + b)2 = 44
    a . b = 2 = ( 6 )2 + 4.2 (a + b) =

    a + b = ? = 36 + 8 =


    3) a – 2b = 3 ise; a2 + 4b2 = ?

    a2 + 4b2 = (a – 2b)2 +2. a2b

    a . b = 2 = ( 3 )2 + 2. 2 .2 = 17


    4) a + b = 12 ise; a . b = ?

    (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
    4 ab = 108
    a – b = 6 ( 12 )2 = ( 6 )2 + 4ab ab = 27


    7) m + n =8 m . n = 1 m3 + n3 = ? x3 + y3 = (x + y)3 – 3xy(x + y)

    m3 + n3 = (m + n)3 – 3mn (m + n)

    = ( 8 )3 – 3 . 1 . 8 = 488

    8) a3 – b3 = 50 a – b = 2 ise; a . b = ?
    x3 – y3 = (x – y)3 + 3xy(x – y)
    a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b)
    50 = 8 + 6ab 6ab = 42 ab = 7


    11) a + b + c = ? a2 + b2 + c2 = (a + b + c) – 2(ab + aç + bc)

    ab + ac + bc = 12 = ( 7 )2 – 2 ( 12 )

    a2 + b2 + c2 = ? = 49 – 24 = 25


    Örnek: 2000-4000.1999+1999 işleminin sonucu kaçtır?

    2000 1999
    2.2000.1999=4000.1999 olduğuna göre

    2000-4000.1999+1999=(2000-1999)
    =1 olur.
    Örnek: 2a+b+2b2+4ab =2a+4ab+b+2b2
    =2a(1+2b)+b(1+2b)
    =(1+2b)(2a+b).
    Redbull58 bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş