Çözüm =x(a+b)+y(a+b) =(a+b).(x+y) Soru-2 x-ax+2x-2a=(x-ax)+(2x-2a) Çözüm =x(x-a)+2(x-a) =(x-1).(a-1) Soru-3 ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1) Çözüm =a(x-1)-1(x-1) =(x-1).(a-1) Soru-4 (2x-3)-1= Çözüm = (2x-3)-1 =[(2x-3)-1].[(2x-3)+1] =(2x-3-1).(2x-3+1) =(2x-4).(2x-2) =4(x-2).(x-1) Soru-5 (298-98)-200.392 =16 2a Çözüm = (298-98)(298+98)-200.392 =16 2a = 200.396-200.392 =16 2a =200(396-392) =16 2a =100.4 =16 a=100.4 a=25 ÜSLÜ İFADELER Soru-1 (2.52 ) . (3.54) Çözüm = 2.3.52+4 =6.56 Soru-2 (8.36) (4.32) = Soru-4 15a = 3a-2 olduğuna göre 5a nın değerini bulalım. Çözüm 15a = 3a-2 = (3.5)a = şeklinde yazılırsa 15a = 3a-2 = (3.5)a = = 3a.5a = = 32 . 3a.5 a = 3a = 9.5a = = 9.5a = 1 = 5a= Soru-5 1- 2x 25 x5 tir Çözüm 2- 3x 81 3x 34 x4 tür. 3- 2x+8 8 olduğuna göre, x=? 2x+8 2x . 28 olup 2x . 28 8 yerine konur ise, burdan 8 23 olup 2x . 28 23 2x 23 28 2x 23-8 2x 2-5 olup burdan x -5 bulunur. LOGARİTMA Soru-1 f(x)= 2x ile tanımlı, f: IR IR+ üstel fonksiyonu veriliyor. f(1), f (1/2), f(-1), f(0), f(-3) degerlerini bulalım Çözüm f(x) = 2x f(1)=21=2, f(1/2)=21/2 =2 1,41 … , f(-1)=2-1=1/2, f(0)=20=1, f(-3)=2-3=1/23=1/8 bulunur. Soru-2 f: IR+ IR f(x)=log3x fonksiyonun tersinin grafiğini aynı analitik düzlemde çizelim ve aşağdaki soruları cevaplayalım. a. f(x) ve f –1 (x) fonksiyonların garfikleri, y = x doğrusuna göre simetrik midir? b. f(x) = log3x fonksiyonu artan mıdır? c. f –1(x) fonksşyonu artan mıdır? d. f (x) fonksiyonu altında, görüntüsü pozitif olan ree sayıların kümesini yazalım. e. f –1 (x) fonksiyonu altında, görüntüsü negatif olan reel sayıların kümesini yazalım. Çözüm f: IR+ IR, f(x) = log3x ise, f –1 : IR IR+, f –1 (x) = 3x olur, y=3x y =x 3 2 1 y=log3x 0 1 2 3 a. f(x) = log3x ile f –1 (x) = 3x fonksiyonları birbirlerinin ters fonksiyonları olduğundan, y = x doğrusuna döre simetriktir. b. f(x) = log3x fınksiyonu artandır. Çünkü, her x1 < x2 için, f(x1) < f(x2) olmaktadır. (a > 1 için, logax fonksiyonu artandır.) c. f –1 (x) = 3x fonksiyonu da artandır. (tabanı birden büyük olan pozitif reel sayıların üsleri büyüdükçesayıda büyür.Bu durum,fonksiyonun grafiğinde açıkca görülebilir.) d. f(x) = log3x fonksiyonu altında, görüntüsü pozitif olan reel sayıların kümesi, (1 ,) aralığıdır. e. f –1 (x) = 3x fonksiyonu altında, görüntüsü negatif olan reel sayı yoktur. Soru-3 32 saysısının 2 tabanına göre logaritmasını bulalım Çözüm log232 = y 2y = 32 (tanım) 2y = 25 y = 5 Soru-4 2 tabanına göre 1/3 olan sayıyı bulalım. Çözüm log2x = 1/3 x = 21/3 x = 32 Soru-5 f : (-1,+) IR, f(x) log2 (x+1) fonksiyonu için f –1 (x) kuralını ve f –1 (5) değerini bulalım. Çözüm 1. yol f(x) = y = log2 (x + 1) fonksiyonunda x yerine y, y yerine x yazalım. log2 (y + 1) = x olup 2x = y + 1 ya da y = 2x – 1 olur. Buradan, f –1 (x) = 2x – 1 bulunur. f –1 (x) = 2x – 1 f –1(5) = 25 – 1 = 32 – 1 = 31 dir. 2.yol f –1(5) = a f(a) = 5 tir. f(a) = log2(a + 1) =5 olup 25 = a + 1 den, a = 32 – 1 = 31 bulunur. buna göre , f –1 (5) = 31 olur. FONKSİYONLAR Soru-1 A={-3,-1,0,2,3} F=A à R fonksiyonu F{(-3,5),(-1,2),(0,3),(2,5),(3,-4)} olarak veriliyor. F(-3)+f(0)+f(3) toplamı nedir? Çözüm f(-3)= 5 f(-3)+f(0)+f(3)=5+3-4=4 olur. f(0)= 3 olduğundan f(3)=-4 Soru-2 R de f(x) = x – 2 , g(x) = x2 + 1 fonksiyonları veriliyor. (f + g) (x), (f - g) (x), (f /g) (x), (f . g) (x)’ i bulunuz. Çözüm (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x – 2 + x2 + 1 = x2 + x - 1 (f - g) (x) = f(x) - g(x) = x – 2 – (x2 + 1) = -x2 + x - 3 (f . g) (x) = f(x) . g(x) = (x – 2 ).( x2 + 1) = x3-2x2+ x - 2 (f / g) (x) = f(x) / g(x) = (x – 2 )/(x2 + 1) Soru-3 A ={ -1, 0,1 } ve b={ 0,1 }kümeleri için f A’dan B ye bir fonksiyon f(x) = x2 fonksiyonunun örten olup olmadığını araştırınız. Çözüm f(-1) = 1 f(0) = 0 à f(A) = {0,1} dır. f(1) =1 f(A) = B olduğundan f örtendir. Soru-4 f : R à[2 + ¥ ] f(x) = x2 + 2 bire bir ve örten midir? ( x ³ 0 ) Çözüm f(0) = 02 +2 = 2 Örtendir -1 ¹ 1 x1 ¹ x2 için f(x1) ¹ f(x2) f(-1) = f(1) f(-1) = (-1)2 + 2 = 3 f(1) = 12 +2 = 3 Birebir değil Soru-5: f ve g : Rà R’ye f (x) = 3x + 2 ve g(x) =(x-1)/3 ise, (fog)(x) ve (gof)(x) fonksiyon-larını bulun? Çözüm RASYONEL SAYILAR Soru-1 x < 0 olmak üzere, a = x/3 ve b = x/7 sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız. Çözüm: Şayet x > 0 olsaydı, olacaktı. x < 0 olduğu için, olur. Soru-2 ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? a) 1 < x < 3 b) 1/2 < x < 5/2 c) 22/3 < x < 26 d) 4 < x < 26/3 e) 22/3 < x < 12 Çözüm: Verilen sıralamanın her üç tarafını da 4 ile çarparsak, olur ve sonra da sıralamanın her üç tarafına da 6 sayısını eklersek sıralamada herhangi bir değişiklik olmayacağından, 22/3 < x < 26 bulunur. Doğru seçenek (c) şıkkıdır. Soru-3 a=10/11, b=100/111, c=1000/1111 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangsi doğrudur? (ÖSS-1999, iptal sın.) a) c < b < a b) c < a < b c) a < b < c d) a < c < b e) b < c < a Çözüm: a=10/11=1/1,1 b=100/111= 1/1,11 c=1000/1111=1/1,111 payları eşit olan kesirlerin, paydası en büyük olan daha küçük olduğundan, a > b > c olur. Doğru seçenek (a) şıkkıdır. Soru-4 a > 0, b > 0, c > 0 ve olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? (ÖSS-1992) a) a < c < b b) a < b < c c) b < a < c d) b < c < a e) c < b < a Çözüm: a, b ve c pozitif sayılar olduğundan, yazabiliriz. Buradan, a=5, b=15 ve c=10 olur. Böylece, a < c < b bulunur. Doğru seçenek (a) dır. Soru-5 a=7/8, b=10/11, c=13/5 sayılarının küçükten büyüğe doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir? a) a < c < b b) a < b < c c) b < c < a d) c < b < a e) c < a < b Çözüm: a ile b kesri basit bir kesirken, c bileşik kesirdir. Bu nedenle, c bileşik kesri en büyüktür. O halde, a ile b yi incelemeliyiz. Buradan, a < b bulunur. Böylece, a < b < c elde edilir. Doğru seçenek (b) dir. TRİGONOMETRİ Soru-1 1256’nin esas ölçüsünü bulunuz Çözüm 1256 360 1080 3 176 Esas ölçü Soru-2 -30º nin esas ölçüsünü bulun. –340º nin esas ölçüsünü bulun. Çözüm 360 - 30 = 330º 360 – 340 = 20º Soru-3 - - 3450º nin esas ölçüsünü bulun. Çözüm 3450 360 360 – 210 = 150º 3240 9 210 Soru-4 19 esas ölçüsünü bulun. 3 Çözüm 19 ‗ 6 . 3 ₊ ‗ 3.2 ₊ 19 ‗ 3 3 3 3 3 3 Soru-5 - 7 esas ölçüsünü bulun 3 Çözüm - 7 ‗ - 3,5 3,5 - 2 ‗ 3 2 - 3 ‗ 2 2 2 2 KARAKÖKLÜ İFADELER Soru-1 A = (x + x-3 )/(1 + 5-x ) ise A nın reel sayı olması için x’in alacağı tam sayı değerler kaç tanedir? Çözüm x-3 ve 5-x köklerinin kuvvetleri çift sayı olduğundan, x-3 0 ve 5-x 0 x3 ve 5x 3 x 5 tir. Buna göre x in alabileceği tamsayı değerleri 3,4 ve 5 olup üç tanedir. Soru-2 2x = (0,5)2x-1 ise x kaçtır? Çözüm 2x = (0,5)2x-1 2x/3 = (1/2)(2x-1)/(2) 2x/3 = (2-1)(2x-1)/(2) 2x/3 = 2(-2x+1)/(2) x/3 = (1 – 2x)/(2) x = 8/3 dir. Soru-3 243 / 0,0048 işleminin sonucu kaçtır? Çözüm 243 / 0,0048 = 3.34 / 48.10-4 = 3.3 / 3.24.(10-1)4 = 3.3 / 2.10-1.3 = 3.10 / 2 = 15 tir. Soru-4 A=(5-3)7+35 olduğuna göre, A kaçtır? Çözüm 5-3 0 olduğundan, A = (5 – 3)7+35 = -(3-5)7+35 = -(3-5)2 .(7+35) = -(14-65)(7+35) = -2(7-35).(7+35) = -2[72 – (35)2] = -2.4 = -22 dir. Soru-5 x = 2 , y = 3 , ve z = 5 sayılarının büyükten küçüğe sıralanışı nasıldır? Çözüm X, y ve z sayılarının yaklaşık değerini bilmek zor olduğundan, kök kuvvetleri eşitlenerek kök içindeki sayılar karşılaştırılabilir. Buna göre: x = 2 = 26 = 264 y = 3 = 34 = 81 z = 5 = 53 = 125 ve 1258164 olduğundan zyx tir.
