Fonksiyonlar konu anlatım

Konu 'Matematik Ders Notları' bölümünde Çiğdem Eylül tarafından paylaşıldı.

  1. Çiğdem Eylül

    Çiğdem Eylül Üye

    Katılım:
    6 Aralık 2011
    Mesajlar:
    52
    Beğenileri:
    25
    Ödül Puanları:
    19

    Fonksiyonları biraz açıklar mısınız?:confused:
  2. oguzcan1234

    oguzcan1234 Üye

    Katılım:
    25 Mart 2012
    Mesajlar:
    5
    Beğenileri:
    2
    Ödül Puanları:
    0
    Fonksiyon

    Fonksiyon nedir?
    Bir cümlenin (kümenin) her elemanını ikinci bir cümlenin yalnız bir elemanıyla eşleyen bir bağıntı. Birinci cümleye tarif cümlesi, ikinci cümleye değer cümlesi denir. Genellikle bu elemanlar sayılardan ibarettir. Pekçok fonksiyon, çeşitli bilim konularında ortaya çıkar
    Fonksiyon 17. yüzyıldan beri matematiğin bir ana kavramı olmuştur. Hareketlerin araştırılmasında Galile, Kepler ve Newton, zamanla mesafe arasında münasebetleri ortaya koymuşlardır. Gazların sıcaklık, basınç ve hacimleri arasındaki münasebet Robert Boyle tarafından, 17. yüzyılda ve A.C. Charles tarafından 18. yüzyılda keşfedilmiştir. On dokuzuncu yüzyılda ise akım, voltaj ve direnç arasındaki münasebet ile elektrik anlaşılır hale gelmiştir. Daha sonra biyoloji ve sosyal ilimlerde de sayılar ile ilgili bilgiler ve bununla fonksiyon kavramı önem kazanmıştır. Bilimde en önemli kavramın değişkenler arasındaki ilişkiler olduğu söylenilebilir.
    Bir fonksiyon, iki cümlenin elemanlarını birbirine karşı getirir.
    Burada saatin her bir değerine, sıcaklığın bir değeri karşı gelmektedir. Bu sebepten sıcaklığın, zamanın bir fonksiyonu olduğu söylenebilir. Seçilen her bir h değeri için karşı gelen bir t değeri bulunacaktır. Burada h’ye bağımsız değişken, t’ye bağımlı değişken denir. Ayrıca h’ye argüman ve t’ye de fonksiyon değeri adı verilir.
    Argüman değerlerin teşkil ettiği cümle fonksiyonun tarif bölgesini gösterir. Fonksiyonun aldığı değerlerin cümlesi ise, fonksiyon değerleri cümlesini belirler.
    Tarif cümlesi sonlu sayıda elemana sahip olduğu gibi, çok fazla sayıda eleman da bulunabilir. Fonksiyonun değer bölgesi, tarif bölgesi gibi çeşitli olabilir. Genel olarak bir fonksiyonu tersine çevirmek, yani h’yi t’nin fonksiyonu olarak ifade etmek her zaman mümkün değildir. Fonksiyon bire bir örtense, yani tarif cümlesindeki her elemana değer cümlesinde bir ve yalnız bir eleman, tersine olarak değer cümlesindeki her elemana da tarif cümlesinde bir ve yalnız bir eleman karşılık gelirse, ters fonksiyonu tarif etmek mümkündür.
    Fonksiyonun ifadesi: Fonksiyonların ifadesi için esas olarak üç yol mevcuttur: Tablo, grafik ve denklem ile temsil gösterenin, değişken değerlerine karşı gelen fonksiyon değerlerinin bir tabloda ifadesi, en basit ve yaygın yoldur. Pekçok sayılar ile ilgili bilgileri ihtiva eden kitaplarda bu tür tablolar mevcuttur. Grafik türünden bir temsil göstermek ise, fonksiyonu daha çok göze hitap eden bir şekle sokmaktadır.
    Fonksiyonun diğer yaygın bir şekli de, denklem şeklinde olan ifadesidir. Mesela: Bir karenin alanı bir kenarının fonksiyonu olarak A = x 2 şeklinde ifade edilir. Bir serbest düşüşte alınan s mesafesinin, t zamanına bağlılığı S = 1/2 g.t 2 = 4.905.t 2 şeklindedir. Fahrenheit derece ile Celsius derece arasındaki ilgi ise F = 9C/5 + 32 olarak belirlidir. Değişik bir fonksiyonda, 1 Türk lirasının % 6’dan faizle işletilmesi ve faizin üç ayda bir hesab edilmesiyle n yıl sonra bu para A = (1,015) 4n değerini veren ifadede ortaya çıkar.
    Bu üç tür fonksiyon ifadesi birbirini tamamlar. Mesela; formül mevcutsa, tablo ve grafik halinde ifade etmek mümkündür. Her zaman değilse de bazen tablo edilmiş, değerlerden, buna uyan bir denklem bulmak mümkün olabilir. Bir fonksiyonu, tarif etmek için, sadece fonksiyonun, verilen değere karşı getirdiği değeri belirleyen kuralı vermek yetmez. Onun tarif bölgesini belirlemek gerekir. Fonksiyon tablo veya grafik halinde verildiğinde, bu tamamen belirlidir. Denklem halinde ifade edilen fonksiyonlarda tarif bölgesini ayrıca belirlemek lazımdır. Mesela, bir karenin alanını belirleyen bir fonksiyonda, kenar sıfırdan büyük olacağı için fonksiyon şöyle ifade edilir:
    A = x 2 ; x > 0
    Fonksiyonun (temsili): y değerinin x argümanının bir fonksiyonu belirtmek için y = f(x) yazılır. Bu
    ifade tarzına tarif bölgesi eklenirse, y = f(x); x > 0 şeklinde yazılabilir.
    Eğer iki farklı fonksiyon varsa, f(x) ve g(x) olarak gösterilebilir. Burada g, sadece f’den farklı bir fonksiyonu temsil etmektedir. Bu çeşit temsilde f(x) tablo, grafik, formül veya başka bir şekilde belirtilen fonksiyonu ifade eder. Mesela; f(x) = x 2 + x + 3; x>0 şeklinde bir fonksiyon verilmişse; x = 1 için fonksiyonunun değeri 5’tir. Bu f(1) = 12+ 1 + 3 = 5 yazılarak hesaplanır.
    Fonksiyon çeşitleri: Matematikte en basit ve en kullanışlı fonksiyon çeşiti cebirsel denklemlerde
    ifade edilenlerdir. Buna misal olarak y = 2x+3, y = x 2 -4x+5, y = (x+5)/(x 2 +7) ve
    FORMÜL VAAAAAAAAAARRRRRRR!!!
    verilebilir. Bunlar sıra ile doğrusal, ikinci dereceden, kesirli ve irrasyonel cebirsel denklemlerdir. Bir fonksiyon ifade ederken, bunun tarif bölgesindeki farklı bölgeler için farklı formüller verilebilir. Mesela; x>1 için, f(x) = x+1, -1£x£+1 için f(x) = x; x= 1 için f(x) = x-1 gibi denklemlerde cebirsel ifade
    edilemeyen fonksiyonlara, transandantal fonksiyonlar denir. Bunların en basiti logaritmik ve trigonometrik fonksiyonlardır.
    Adi logaritma tablosu, her pozitif N sayısı için bir L logaritma değeri verir. Böylece L = log 10 N
    fonksiyonunu tarif eder. Tarif bölgesi pozitif sayılar cümlesidir. Bu tablo tersine de kullanılarak
    logaritması belirli olan sayının kendisi bulunabilir ve bu ise N = antilog 10 L fonksiyonunu tarif eder. Bu
    iki fonksiyon ise, bir fonksiyon denklemini sağlayacak bir L sayısının bulunması şeklinde tarif edilir. Bu da üstel (eksponansiyel) fonksiyona bir örnektir.
    Trigonometrik oranların tablosu, karşı gelen fonksiyonları gösterir. Mesela açıların sinüs tablosu her açıya bir sayı karşılığı getirir. Bu sin (x+360°) = sin x olduğu için periyodik bir fonksiyondur. x’in bütün gerçek değerleri için tarif edilen y = sin x fonksiyonunun aldığı değerler -1£y£+1 şartını sağlayan sayılar cümlesinde bulunur. Bu fonksiyon tek değerli bir ters fonksiyona sahip değildir. Mesela y = 1/2’ye karşı gelen pekçok x değeri mevcuttur. Ancak değişken -p/2 ile p/2 arasında sınırlandırılırsa, bu aksaklık giderilebilir.
    Böylece -p/2 £ x £ p/2 için y= sin x fonksiyonu tek değerli bir ters fonksiyona sahip olup olmak üzere x= arc sin y olarak gösterilir.
    Bir fonksiyonun limiti: Birden fazla aralıkta tarifli olan fonksiyonlar analizde önemli bir yer tutar. Mesela f(x) = (x 2 -1)/(x-1) fonksiyonu x = 1 hariç her gerçek sayı için tariflidir. Bu analizde sık rastlanan bir duruma örnektir. Eğer karşı gelme kuralı için, (x 2 -1)/(x-1) kesirli hali kabul edilirse, x = 1 için tarifsiz ifadesi elde edilir. Diğer değerlerde hiçbir zorluk yoktur. Ancak fonksiyon, y= (x-1) (x+1)/(x-1) yazılır ve sadeleştirme yapılırsa y = x+1 bulunur. x değeri 1’e yaklaştıkça, fonksiyon değerlerinin 2’ye yaklaştığı kolayca anlaşılabilir. Bu matematiksel olarak:
    x 2 - 1
    lim ????? = 2 x›1 x - 1
    şeklinde yazılır.
    Analizde yapılan işlemler çoğu zaman argümanın belirli bir değere yaklaştığında fonksiyonunun yaklaştığı limiti bulmağı gerektirir.
    Sürekli ve süreksiz fonksiyonlar: x = 1 için:
    x2 - 1
    y = ????
    x+1
    fonksiyonu süreksiz bir fonksiyona örnektir. Çünkü x= 1 için y, belirsiz olduğundan, fonksiyon bir noktada süreksizdir. Diğer taraftan y=x+1 fonksiyonu her noktada süreklidir. Fonksiyonun bir noktada sürekli olması için o noktada belirli olması, argüman o noktaya yaklaşırken tek bir limite yaklaşması ve bu limitin tarifte verilen değere eşit olması gerekir.
    Fonksiyon teorisi: Çeşitli fonksiyonların özelliklerini incelemek, kapalı ifadeleri bulunmadığında fonksiyonun özelliklerinden fonksiyonları keşfetmek ve bu arada çok farklı fonksiyonlar kullanmak, fonksiyonlar teorisinin konularından bazılarıdır. Bu da analizin bir koludur.


    Kaynak:

    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...

    Moderatör Barış bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş