Fonksiyonlar ´

Konu 'Matematik Ders Notları' bölümünde Lethe tarafından paylaşıldı.

  1. Lethe

    Lethe Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    12 Nisan 2010
    Mesajlar:
    8.551
    Beğenileri:
    8.201
    Ödül Puanları:
    113

    FONKSİYONLAR


    A. TANIM
    A   ve B  olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun. A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonlar f ile gösterilir.
    x A ve y  B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu f : A  B ya da x  f(x) = y biçiminde gösterilir.
    [​IMG]
    Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
    f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)..ç (d, 3)}
    biçiminde de gösterilir.
    Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
    Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.

    s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
    1. A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir.
    2. B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir.
    3. A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m . n – nm dir.
    Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.



    B. FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM
    f ve g birer fonksiyon olsun.
    f : A  IR
    g : B  IR
    olmak üzere,
    i) f ± g: A  B  IR
    (f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
    ii) f . g: A Ç B  IR
    (f . g)(x) = f(x) . g(x)
    [​IMG]

    C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
    1. Bire Bir Fonksiyon
    Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir.
    x1, x2  A için, f(x1) = f(x2)iken
    x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir.
    s(A) = m ve s(B) = n (n  m) olmak üzere,
    A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
    [​IMG]

    2. Örten Fonksiyon
    Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.
    f : A  B
    f(A) = B ise, f örtendir.
    s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
    m! = m . (m – 1) . (m – 2) ... 3 . 2 . 1 dir.

    3. İçine Fonksiyon
    Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
    İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
    s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
    mm – m! dir.



    4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon
    Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.
    f : IR  IR
    f(x) = x
    birim (etkisiz) fonksiyondur.
    Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.
    5. Sabit Fonksiyon
    Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir.
    x  A ve c  B için
    f : A B
    f(x) = c
    fonksiyonu sabit fonksiyondur.
    s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
    A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

    6. Çift ve Tek Fonksiyon
    f : IR IR
    f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
    f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.
    Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
    Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
    D. EŞİT FONKSİYON
    f : A  B
    g : A  B
    x  A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.
    ya(m)aNga, DiLaraae, Okeanus ve diğer 1 kişi bunu beğendiniz.
  2. Lethe

    Lethe Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    12 Nisan 2010
    Mesajlar:
    8.551
    Beğenileri:
    8.201
    Ödül Puanları:
    113
    E. PERMÜTASYON FONKSİYONU
    f : A  A
    olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.
    A = {a, b, c} olmak üzere, f : A A
    f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
    fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
    [​IMG]

    F. TERS FONKSİYON
    f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1 de fonksiyondur.
    [​IMG]
    Uygun koşullarda, f(a) = b  f – 1(b) = a dır.
    f : IRIR, f(x) = ax + b ise, f – 1(x) = [​IMG]dır.
    [​IMG]
    (f – 1) – 1 = f dir.
    (f – 1(x)) – 1 f(x) tir.
    y = f(x) in belirttiği eğri ile y = f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir.
    DiLaraae ve Dreamer* bunu beğendi.
  3. Lethe

    Lethe Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    12 Nisan 2010
    Mesajlar:
    8.551
    Beğenileri:
    8.201
    Ödül Puanları:
    113
    B IR olmak üzere,
    [​IMG]
    B  IR olmak üzere
    [​IMG]
    G. BİLEŞKE FONKSİYON
    1. Tanım
    f : A  B
    g : B  C
    olmak üzere, gof : A  C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.
    (gof)(x) = g[f(x)] tir.

    2. Bileşke Fonksiyonun Özellikleri
    i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
    fog gof
    Bazı fonksiyonlar için fog= gof olabilir. Fakat bu bileşke işleminin değişme özelliği olmadığını değiştirmez.
    ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
    fo(goh) = (fog)oh = fogoh
    iii) foI = Iof = f
    olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz) elemanıdır.
    iv) fof – 1 = f – 1of = I
    olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir.
    v) (fog) – 1 = g – 1of – 1 dir.
    DiLaraae ve Dreamer* bunu beğendi.
  4. Lethe

    Lethe Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    12 Nisan 2010
    Mesajlar:
    8.551
    Beğenileri:
    8.201
    Ödül Puanları:
    113
    Eğer bağıntı ; tanım kümesinin her elemanını değer kümesinin yalnız ve yalnız bir tek elemanına eşliyorsa o bağıntıya fonksiyon denir. Yani her bağıntı bir fonksiyon değil ama her fonksiyon aynı zamanda bir bağıntıdır. Tanımı daha da açarsak:
    Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için :
    1. Tanım kümesindeki her elemanının kullanılmış olması ;
    2. Tanım kümesindeki her elemanının yalnız bir değerinin olması gerekmektedir.
    [​IMG]
    f(2)=1 ve f(2)=2 olduğundan yani 2
    elemanının 1’den fazla değeri olduğu
    için fonksiyon değildir.
    [​IMG]
    Tanım kümesinde açıkta eleman
    kaldığı için fonksiyon değildir.
    f(2) = tanımsız.
    [​IMG]
    Her iki şartı da sağladığı için
    fonksiyondur.
    A’dan B’ye tanımlanan tüm fonksiyonların sayısı [s(B)]s(A) ile hesaplanır.
    A’dan B’ye tanımlanan bir fonksiyon f : A  B şeklinde gösterilebilir.
    x  A ve y B olmak üzere f : x  y , y = f(x) şeklinde de ifade edilebilir.
    Örnek 11: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre A’dan B’ye yazılabilecek tüm fonksiyonların sayısını bulun :
    Çözüm : s(A) = 3 ve s(B) = 6 olduğundan dolayı yazılabilecek tüm fonksiyonlar 63 = 216 tanedir.
    Örnek 12: A={1,2,3} ve B={0,1,3,4,5,6} olduğuna göre y = f(x) = x+2 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve şema yöntemiyle gösterin :
    Çözüm : Verilen tanıma göre önce görüntü kümesinin elemanlarını hesaplayalım :
    f (1) = 3 ; f(2) = 4 ; f(3) = 5 olduğundan
    f (A) = {3,4,5} olur.
    Venn şeması ile gösterimi ise şöyledir :
    [​IMG]
    Örnek 13: A={-1,0,1,2} ve B={0,1,2,3,4,5} olduğuna göre y = f(x) = x2+1 şeklinde ifade edilebilen fonksiyonu liste ve grafik yöntemiyle gösterelim:
    Çözüm : f(-1) = 2 ;
    f (0) = 1 ;
    f( 1) = 2 ;
    f( 2) = 5 olduğuna göre :
    f(A) = {1,2,5} olur.
    Fonksiyonun grafik ile gösterimi ise şöyledir :
    [​IMG]
    DiLaraae ve Dreamer* bunu beğendi.
  5. Lethe

    Lethe Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    12 Nisan 2010
    Mesajlar:
    8.551
    Beğenileri:
    8.201
    Ödül Puanları:
    113
    Örnek 14 : Aşağıda grafiği verilen tamsayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :
    [​IMG]
    Çözüm : Tanım kümesi yatay eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan , değer kümesi ise düşey eksen üzerindeki tamsayı elemanlardan oluşur. Görüntü kümesinin elemanlarını bulmak için grafiği incelemek ve kapalı eğri tarafından sınırlanan noktalara karşılık gelen düşey eksen değerlerini almak gerekir.
    Tanım kümesi = A = {-1,0,1,2,3 }
    Değer kümesi = B = {0,1,2,3,4,5 }
    Görüntü kümesi = f(A) = {1,2,4,5 }
    Örnek 15 : Aşağıda grafiği verilen gerçek sayılarda tanımlanmış fonksiyonun tanım , görüntü ve değer kümelerini bulunuz :
    [​IMG]
    Çözüm : Tanım kümesi = [-1,7] ;
    Değer kümesi = [-5,8] ;
    Görüntü kümesi = [-5,8] .
    Görüntü kümesi , değer kümesine eşit veya onun alt kümesi olabilir.

    Örnek 16 : Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan
    bağıntı fonksiyon mudur ?
    [​IMG]


    Çözüm : Tanım kümesi üzerindeki tüm değerlerin yalnız ve yalnız bir karşılığı var olduğuna göre fonksiyon olmanın iki şartını da sağlıyor.
    Aynı soruya farklı bir yaklaşım da y eksenine paralel çizilebilinen tüm doğrular düşünülür. Bunların herhangi bir tanesi dahi grafiği 1’den fazla veya 1’den az noktada keserse o grafik fonksiyon olamaz.


    Bu grafikte çizilen tüm doğrular yalnız ve yalnız bir noktada kestiği için bir fonksiyondur.

    Örnek 17: Aşağıda gerçek sayılarda tanımlanmış olan bağıntı fonksiyon mudur ?
    [​IMG]

    Çözüm : Bu bağıntı , tanım kümesinin (- ,-4) aralığındaki değerlerinin görüntüsü olmadığı için fonksiyon değildir. Aynı zamanda [-4, ) aralığındaki değerlerinin de birden fazla görüntüsü olduğu için fonksiyon değildir. Bu sebeplerin bir tanesi bile fonksiyon olmaması için yeterlidir.

    Diğer yaklaşım ile düşünüldüğünde (- ,-4) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği kesmiyor ki en az bir noktada kesmesi gerekirdi. Öte yandan [-4, ) aralığında y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği iki noktada kesiyor ki en fazla bir noktada kesmesi gerekirdi.
    DiLaraae ve Dreamer* bunu beğendi.
  6. Lethe

    Lethe Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    12 Nisan 2010
    Mesajlar:
    8.551
    Beğenileri:
    8.201
    Ödül Puanları:
    113
    FONKSİYON TÜRLERİ :
    İçine fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesinin alt kümesi ( değer kümesinin bazı elemanlarının tanım kümesinde karşılığı yok ) ise bu tür fonksiyonlara denir.
    Örnek 18 :
    [​IMG]
    Örten fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesi , değer kümesine eşit ( değer kümesinin tüm elemanlarının tanım kümesinde karşılığı var ) ise bu tür fonksiyonlara denir.



    Örnek 19 :
    [​IMG]


    Bire-bir (1-1) fonksiyon : Eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanın tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu tür fonksiyonlara denir.



    Örnek 20 :
    [​IMG]



    Sabit fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı hep aynı eleman oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.





    Örnek 21 :
    [​IMG]
    Birim fonksiyon : Eğer fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesindeki karşılığı yine kendisi oluyorsa bu tür fonksiyonlara denir.
    Örnek 22:
    [​IMG]
    Örnek 23 : Birinci açıortay doğrusu ne tür bir fonksiyondur ?
    Çözüm : y = x doğrusu olan birinci açıortay doğrusu hem 1-1 ; hem örten hem de birim fonksiyondur.
    DiLaraae ve Dreamer* bunu beğendi.
  7. Lethe

    Lethe Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    12 Nisan 2010
    Mesajlar:
    8.551
    Beğenileri:
    8.201
    Ödül Puanları:
    113
    Örnek 24: Aşağıdaki fonksiyon ne tür bir fonksiyondur ?
    [​IMG]


    Çözüm ¥: Görüntü kümesinin (- ,-4) arasındaki değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olmadığı için içine fonksiyondur.
    x eksenine paralel çizilen bazı doğrular grafiği kesmiyorsa içine fonksiyondur.
    Örnek ®25 : Aşağıdaki f : R ) ne tür bir fonksiyondur ?¥[-4,
    [​IMG]



    Çözüm : Görüntü kümesinin tüm değerlerinin tanım kümesinde karşılığı olduğu için örten fonksiyondur.
    Örnek 26: Aşağıdaki f : R ne tür bir fonksiyondur ?

    [​IMG]

    Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı yine kendisine eşit olduğundan birim fonksiyondur. Aynı zamanda 1-1 ve örten fonksiyondur.
    Örnek 27 : Aşağıdaki f : R ne tür bir fonksiyondur ?

    [​IMG]

    Çözüm : Tanım kümesindeki her elemanın karşılığı hep aynı olduğundan sabit fonksiyondur.
    DiLaraae ve Dreamer* bunu beğendi.
  8. Lethe

    Lethe Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    12 Nisan 2010
    Mesajlar:
    8.551
    Beğenileri:
    8.201
    Ödül Puanları:
    113
    Örnek 28 : Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi 1-1 fonksiyondur ?

    [​IMG]

    [​IMG]

    Çözüm : x eksenine paralel çizilen doğrular yalnız bir tek noktada kesiyorsa 1-1 ; aksi takdirde 1-1 değildir. Bu nedenle ilk grafik 1-1 olmamasına karşılık ikinci grafik 1-1 ‘ dir.

    s(A) = a ve s(B)=b olmak üzere :

    1. A’dan B’ye tanımlanan fonksiyon sayısı ba ;
    2. A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyon sayısı b ;
    3. A’dan B’ye tanımlanan 1-1 fonksiyon sayısı P(b,a).

    Örnek 29 : A’dan B’ye 4 tanesi sabit olmak üzere 64 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan B’ye tanımlanabilen 1-1 fonksiyon sayısı kaç tanedir ?

    Çözüm : 4 tane sabit fonksiyon olduğuna göre s(B) = 4 ; toplam fonksiyon sayısı ise 64 = 43 olduğundan dolayı s(A) = 3’tür.
    Buna göre 1-1 fonksiyon sayısı da

    [​IMG] olur.


    Örnek 30 : A’dan A’ya 27 tane fonksiyon tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane yansıyan bağıntı tanımlanabilir ?

    Çözüm : 27 = 33 olduğuna göre s(A) = 3 ‘ tür.
    Yansıyan bağıntı sayısı ise 29-3 = 26 = 64 olur.

    Örnek 31 : A’dan A’ya 221 tane simetrik bağıntı tanımlanabilmektedir. Buna göre A’dan A’ya kaç tane sabit fonksiyon tanımlanabilir ?

    Çözüm : [​IMG]
    olduğuna göre s(A) = 6 ‘ dır. Buna göre sabit fonksiyon
    sayısı 6 olur.


    Permütasyon fonksiyonu : Sonlu bir A kümesi üzerinde A’dan A’ya tanımlanan f fonksiyonuna permütasyon fonksiyonu denir.
    DiLaraae ve Dreamer* bunu beğendi.

Sayfayı Paylaş