İşlem - Konu Anlatımı

Konu 'Matematik Ders Notları' bölümünde DeadLy11 tarafından paylaşıldı.

  1. DeadLy11

    DeadLy11 Forumdan Uzaklaştırıldı

    Katılım:
    6 Ocak 2011
    Mesajlar:
    75
    Beğenileri:
    218
    Ödül Puanları:
    0

    İŞLEM



    A. TANIM

    Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir.

    A Ì B olmak üzere, A ´ A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir.

    İşlemler; gibi simgelerle gösterilir.




    B. İŞLEMİN ÖZELİKLERİ

    A kümesinde p ve « işlemleri tanımlanmış olsun. Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim.



    1. Kapalılık Özeliği

    " (Her) a, b Î A için a p b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi p işlemine göre kapalıdır.



    2. Değişme Özeliği

    " (Her) a, b Î A için, a p b = b p a ise, p işleminin değişme özeliği vardır.



    3. Birleşme Özeliği

    " (Her) a, b, c Î A için a p (b p c) = (a p b) p c ise, p işleminin birleşme özeliği vardır.



    4. Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği

    " (Her) x Î A için, x p e = e p x = x ise, e ye p işleminin etkisiz elemanı denir.

    e Î A ise, p işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir.



    5. Ters Eleman Özeliği

    p işleminin etkisiz elemanı e olsun.

    a Î A için, a p b = b p a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına p işlemine göre a nın tersi denir.

    a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir.

    A kümesinin bütün elemanlarının p işlemine göre, tersleri A nın elemanı ise, p işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir.

    • Birim elemanın tersi kendisine eşittir.

    • Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir.




    6. Dağılma Özeliği

    " a, b, c Î A için,

    a « (b p c) = (a « b) p (a « c) ise,

    « işleminin p işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır.

    (a p b) « c = (a « c) p (b « c) ise,

    « işleminin p işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır.

    « işleminin p işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa « işleminin p işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.




    7. Yutan Eleman Özeliği

    " x Î A için, x p y = y p x = y olacak biçimde bir y varsa y ye p işleminin yutan elemanı denir.

    y Î A ise, p işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir.

    Yutan elemanın tersi yoktur. Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir.




    C. TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER



    A = {a, b, c, d} kümesinde işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanmış olsun.

    Ü

    b c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur. Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b c nin sonucudur. Buna göre, b c = a dır.

    Ü

    Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi işlemine göre kapalıdır.

    Ü

    Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, işleminin değişme özeliği vardır.

    Ü

    Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır. Yukarıda tablo ile tanımlanan işleminin etkisiz elemanı d dir.

    Ü

    Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur. Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir. Bulunan yutan elemandır.



    Yandaki tablo, A = {1, 2, 3} kümesinde tanımlanan işlemine göre düzenlenmiştir.

    Buna göre,

    işleminin yutan elemanı 1 dir.

    işleminin birim (etkisiz) elemanı 2 dir.




    D. MATEMATİK SİSTEMLER

    1. Tanım

    A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun.
    (A, «) ikilisine matematik sistem denir.


    2. Grup

    A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur.

    A, « işlemine göre kapalıdır.

    A üzerinde « işleminin birleşme özelliği vardır.

    A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır.

    A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır.

    A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özelliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur.


    3. Halka

    A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadır.

    (A, D) sistemi değişmeli gruptur.

    A kümesi « işlemine göre kapalıdır.

    « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır.

    Ü

    « işleminin değişme özelliği de varsa (A, D, «) sistemi değişmeli halkadır.

    Ü

    « işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir.

Sayfayı Paylaş