Karmasık Sayılar #

Konu 'Matematik Ders Notları' bölümünde Dreamer* tarafından paylaşıldı.

  1. Dreamer*

    Dreamer* Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    13 Mayıs 2010
    Mesajlar:
    2.550
    Beğenileri:
    1.971
    Ödül Puanları:
    0

    ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz. Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur. Çünkü,( x² + 1 = 0 &THORN; x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur.
    Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız...

    A. TANIM:
    a ve b birer reel sayı ve i = Ö-1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi Cile gösterilir.
    C = { z : z = a + bi ; a, b Î R ve Ö-1 = i } dir.
    ( i = Ö-1 &THORN; i² = -1 dir.)
    z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir.

    Örnek:
    Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = Ö3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır.
    Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür.
    Z2 = 2 - 3i &THORN; Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
    Z3 = Ö3 + i &THORN; Re(Z3) = Ö3 ve İm(Z3) = 1,
    Z4 = 7 &THORN; Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
    Z5 = 10i &THORN; Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur.

    Örnek:
    x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.

    Çözüm:

    Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir.
    Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 4.1.5 = -16 = 16.i²
    X1,2 = -b ± ÖΔ = -(-2) ± Ö16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir.
    2a 2.1 2
    Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir.


  2. Dreamer*

    Dreamer* Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    13 Mayıs 2010
    Mesajlar:
    2.550
    Beğenileri:
    1.971
    Ödül Puanları:
    0
    B. İ ‘NİN KUVVETLERİ



    iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i, ...

    Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır.



    Buna göre , n Î N olmak üzere,



    i4n = 1

    i4n + 1 = i

    i4n + 2 = -1

    i4n + 3 = -i dir.





    Örnek:


    ( i14 + i15 + 1 ).( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım.



    Çözüm:

    i14 = (i4)3.i2 = 13.(-1) = -1

    i15 = (i4)3.i3 = 13.(-i) = -i

    i99 = (i4)24 .i 3 = 124.(-i) = -i

    i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,



    (i24 + i15 + 1).(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1).(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir.



    C. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

    Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir.



    Z1 = a + bi } olsun. Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir.

    Z2 = c + di }



    Örnek:

    Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

    Z 2 = 8 + (a + b)i

    Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım.



    Çözüm:

    Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,

    a + 3 = 8 a = 5

    2b + 3 = a + b &THORN; 2b + 3 = 5 + b &THORN; b = 2 dir.



    Örnek:

    Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i

    Z2 = 0

    Z1 = Z2 olduğuna göre, a.b değerini bulalım.





    Çözüm:

    Z1 = Z2 olduğundan,

    a – 2 = 0 a =2,

    a + b + 3 = 0 2 + b + 3 = 0 b = -5 tir.

    O halde, a.b = 2.(-5) = -10 dur.​
  3. Dreamer*

    Dreamer* Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    13 Mayıs 2010
    Mesajlar:
    2.550
    Beğenileri:
    1.971
    Ödül Puanları:
    0
    D. BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ



    Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir.





    Örnek:

    _

    1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,

    _

    2) Z2 = Ö2 - Ö3i sayısının eşleniği Z2 = Ö2 + Ö3i,

    _

    3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,

    _

    4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,

    _

    5) Z5 = Ö3 - Ö2 sayısının eşleniği Z5 = Ö3 - Ö2 dir.



    Örnek:

    Z = a + bi olmak üzere,

    _

    3 . Z – 1 = 2(4 – i)

    olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.



    Çözüm:

    _

    3 . Z – 1 = 2(4 – i)

    3 . (a – bi) – 1 = 8 – 2i

    3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

    olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir.



    3a – 1 = 8 &THORN; 3a = 9 &THORN; a = 3 ve

    -3b = -2 &THORN; b = 2/3 tür.



    O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

    Not:




    1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )

    .

    2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni


    karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır.



  4. Dreamer*

    Dreamer* Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    13 Mayıs 2010
    Mesajlar:
    2.550
    Beğenileri:
    1.971
    Ödül Puanları:
    0
    E. KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM


    1) Toplama - Çıkarma

    Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır ).



    Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )


    Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )



    Çarpma İşlemi

    Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = �1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

    z = a + bi ve w = c + di olsun. Buna göre,


    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...




    Sonuç

    i2 = �1 ve z = a + bi olmak üzere,


    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...



    Kural

    i2 = �1 ve n tam sayı olmak üzere;

    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...




    4. Bölme İşlemi

    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...



    z1 × (z2)�1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir.
    Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

    z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,


    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...

  5. Dreamer*

    Dreamer* Özel Üye Özel Üye

    Katılım:
    13 Mayıs 2010
    Mesajlar:
    2.550
    Beğenileri:
    1.971
    Ödül Puanları:
    0
    5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

    z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,

    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...



    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...



    G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

    z = a + bi ve w = c + di olsun.

    |z � w|

    ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...



    z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...

Sayfayı Paylaş