Kombinasyon permütasyon ve binom*

Konu 'Matematik (Soru-Cevap-Konu Anlatım)' bölümünde şirin tarafından paylaşıldı.

  1. şirin

    şirin Üye

    Katılım:
    27 Kasım 2007
    Mesajlar:
    123
    Beğenileri:
    46
    Ödül Puanları:
    16

    PERMÜTASYON

    n În N olmak üzere n elemanlı bir kümenin,birbirinden farklı r tane elemanından oluşan sıralı r lilerden her birine bir kümenin r li permütasyonu denir.

    N elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı;

    P(n,r) = n! dir. (r £ n)
    (n –r)!
    Not :

    Permütasyon ile kombinasyon arasındaki en önemli fark permütasyonda sıra önemli,kombinasyonda sıranın önemli olmamasıdır.Örneğin 5 tane numarasız birbirinin birbirinin aynısı formayı 5 kişiye dağıtmak tek şekilde olurken birden beşe kadar numaralanmış formaları 5 kişiye dağıtmak 5! Şekilde yapılabilir.Permütasyonla çözülebilen her soru aynı zamanda saymanın temel ilkesi ile de çözülebilir.

    Örnek :
    4 kişi aynı sıradaki 4 sandalyede kaç farklı biçimde oturabilir?

    Çözüm:

    P(4 , 4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 farklı biçimde oturabilir.

    Örnek :

    8 değişik renkte boya kalemi ile bir haritadaki 3 ili kaç değişik biçimde boyayabiliriz?

    Çözüm :


    =336 biçimde.

    Örnek :

    5 değişik fizik,3 değişik tarih ve 2 değişik felsefe kitapları aynı cins kitaplar yanyana gelmek üzere bir kitaplığın rafına kaç değişik biçimde sıralanabilirler?

    Çözüm :

    5 fizik kitabı kendi arasında 5! =120 farklı biçimde.
    3 tarih kitabı kendi arasında 3! = 6 farklı biçimde.
    2 felsefe kitabı kendi arasında 2! = 2 farklı biçimde dizilebilir.
    Bu 3 farklı kitapta kendi arasında 3! biçimde dizileceğinden genel çarpma kuralına göre ;
    5! . 3! . 2! . 3! = 120 . 6 . 2 . 6 = 8640 farklı biçimde dizilebilirler.

    TEKRARLI PERMÜTASYON


    dir.

    n elemanlı bir kümenin n tanesi bir türden, n tanesi başka türden, ....,n tanesi de r ninci türden ise bu n elemanın n li permütasyonlarının sayısı ;

    Not :

    Toplam n tane nesnenin (n1,n2, ...., nn) tanesi kendi arasında aynı olduğunda bu aynı elemanların belli durumlarda kendi aralarında yer değiştirdiklerinde yeni bir sıralama oluşmamaktadır.Bunların sayısının elenmesi gerekmektedir.Bu da n!i ; ( n1! . n2!. ...nn!)
    ile bölerek yapılır.

    Örnek :

    “ MARMARA” kelimesindeki harflerin yerlerini değiştirerek anlamlı yada anlamsız;
    a) 7 harfli kaç tane kelime yazılabilir?
    b) Bunların kaç tanesi M ile başlar M ile biter?
    c) Bunların kaç tanesi A ile başlar A ile biter?
    d) Bunların kaç tanesinde M ‘ler yanyanadır?
    e) Bunların kaç tanesinde A’ların üçü de yanyanadır?

    Çözüm :

    a) “MARMARA” kelimesindeki 7 harfin 2 tanesi kendi arasında aynı M ler, 2 tanesi kendi arasında aynı R ler , 3 tanesi kendi arasında A lar.

    Buna göre P(7,7) = 7! = 210 farklı kelime yazılabilir.
    3! .2! .2!

    b) M ile başlayıp M ile biten 7 harfi kelime sayısı

    M ARARA M
    ¯ ¯ ¯
    sbt kalan 5 harf sbt

    P(5,5) = 5! = 120 = 30
    2! 2! 4
    c) A ile başlayıp A ile biten 7 harfli kelime sayısı;

    A MRAMR A
    ¯ ¯ ¯

    sbt kalan 5 harf sbt

    d) M lerin ikisinde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı;

    MM A , R , R , A , A
    ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
    1. 2. 3. 4. 5. 6.

    P(6,6) = 6! = 60 tanedir.
    2! . 3!
    e) A ların üçününde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı

    A , A , A , M , M , R , R
    ¯ ¯ ¯ ¯ ¯






    KOMBİNASYON

    n elemanlı bir kümenin r elemanlı (r £ n ) her alt kümesine bu kümenin bir kombinasyonu denir.n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasyonlarının sayısı:





    Not :

    Permütasyon, bir kümenin elemanlarının değişik sıralanışlarının sayısıdır.Kombinasyon ise sıra gözetmeksizin bulunabilecek alt kümelerinin sayısıdır.Demek ki permütasyonda sıra önemli , kombinasyonda ise önemli değildir.

    Örnek :

    C( n,0) + C( n, 1) + C( n,2) = 56 ise n kaçtır?

    Çözüm :





    C( n,0) + C (n,1) + C ( n,2) = 56
    2 + 2n + n2– n = 56

    n + n – 54 = 0

    (n + 9 ) ( n – 6 ) = 0 ® n= - 9 ve n= 6 olur.

    -9 Ï IN olduğu için alınamaz.

    Örnek :

    P(n,3) = 4 . C(n,4) olması için n ne olmalıdır?

    Çözüm :

    n.(n – 1) . ( n-2 ) = 4 . P(n,4) / 4!


    n . ( n-1) . ( n-2 ) = 4 . n . ( n – 1) .( ( n – 2 ) ( n-3 )) / 4 . 3 . 2 . 1


    6 = n – 3 Þ n =9

    Örnek :

    C( n-1 , 2 ) + c( n-1 , 1 ) = 1 ise n nedir?
    Çözüm :

    (n , r) + (n , r-1) = (n +1,r) olduğundan,

    ( n-1,2 ) + ( n-1,1 ) = ( n,2 ) olur.

    ( n,2 ) = 1 Þ n = 2 dir.Çünkü ( 2,2 ) = 1 dir.

    ( n-1,2 ) = ( 1,2 ) dir.Oysa birer elemanlı kümenin ikili kombinasyonu olmayacağından
    Ç = Æ dir.


    BİNOM AÇILIMI

    (a . b)m = am . bm

    ( a )m = am dir. Fakat ( a ± b)m ¹ am ± bm dir.
    b bm

    Buna göre iki ya da daha fazla terim toplamının ya da farkının parantez kuvvetini açmak için kullanılan metodlardan biri paskal üçgeni,diğeri de binom açılımıdır.

    x,y Î R , n Î Z+ = {1 , 2 , 3 , .....} için (x + y)n =S (n,r) . xn-r . yr dir.

    Bu formüle binom açılımı denir.

    ( x +y )n = ( n ) . xn + ( n ) . xn-1 .y + .... + ( n ) . xn-r . yr + .... ( n ) . yn
    0 1 r n
    Bu formüle iki yada daha fazla terimli ifadelerin pozitif tam sayı olan kuvvetlerinin açılımları bulunur ( x+y )n açılımının.

    Özellikleri :

    1) ( x+y )n açılımında birbirinden farklı elde edilebilecek maksimum terim sayısı ( n+1 ) tanedir.

    2) Her terimdeki değişkenlerin kuvvetleri toplamı parantez kuvveti olan (n) e eşittir.Yani her terimdeki (x) ve (y) nin kuvvetleri toplamı n dir.

    3) ( x + y)n açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için parantez içindeki değişkenler ( x ve y ) yerine 1 konur.

    Buna göre;
    (1 + 1)n = 2n katsayılar toplamı olur.

    4) ( x +y)n açıldığında baştan ( r + 1) terim

    C( n , r ) x n-r . y r dir.

    5) ( n ) = ( n ) olduğundan ( x + y )n açılımındaki baştan ve
    r n - r
    sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları eşittir.


    6) (x + y)naçılımında (k < n) olmak üzere sondan k terimin baştan sırası (r)

    k = ( n + 2) – r ile bulunur.



    Örnek :

    ( 3a + b )4 açılımını yapınız.
    Çözüm :

    (3a + b)4 = (4 ) .(3a)4. b0 + (4) .(3a)3 . b1 + ( 4 ) (3a)2. b2 + ( 4 ) (3a) b3 + ( 4 )4 b
    0 1 2 3 4
    = 81 a4 + 108 a3b + 54 a2 b2 +12 ab3 + b4

    Yukarıda görüldüğü gibi (3a + b )4 açılımında toplam (4 + 1) = 5 tane terim elde edilip,burada 81 , 108 , 54 ,12 ve 1 katsayılardır.

    Katsayılar toplamı = 81 + 108 + 54 + 12 + 1 = 256 olur.

    Pratik olarak katsayılar toplamı = (3 . 1 + 1)4 =44 =256 olur.

    a=b= 1 için

    Örnek :

    ( a3 + 2 )12 açılımında terimleri “a” nın azalan kuvvetlerine göre sıralarsak ;
    a2
    a) Baştan 3. terim nedir?
    b) Baştan 4. terimin katsayısı nedir?
    c) Sondan 2. terim nedir?

    Çözüm :

    ( I +II )n açılımında baştan “r” inci terim = In – r +1 . II r –1 ile bulunacağından ;

    a) ( a3 + 2 )12 açılımında
    a2
    I= a3 , II = = 2 . a-2 n =12 r =3

    3.terim = (12 ) (a3)10 (2 . a-2)2 = 12 . 11 .a30 . 22 .(a-4 ) = 264 . a26 olur.
    2 2
    b) Baştan 4. terim de r = 4 olmalı

    4. terim = ( 12 ) (a3)9 (2 . a-2 )3 = 12 . 11 . 10 .a27 .23 .a-6
    3 3 . 2 . 1
    = 1760 a 21 olur ki burada katsayı : (1760) bulunur.

    c)Sondan 2. terimin baştan sırası olan r

    r = (12 + 2) – 2 = 12 olur.
    12. terim = (a3)1 (2a-a )11 = 12 . a3 . 211 . a-22 = 3 . 213 .a-20 bulunur.
    UYGULAMALAR


    Örnek :

    Spor toto oyununda 13 maçı da kesin bilmek için en az kaç kolon oynamak gerekir?

    Çözüm :

    Her maç için 0 , 1 , 2 olmak üzere 3 seçenek vardır.Saymanın temel ilkesine göre 13 maçıda kesin bilmek için

    3 . 3 . 3 . ..............3 = 313 kolon oynamak gerekir.










    Örnek :

    1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 rakamlarını kullanarak;
    a) 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
    b) 3 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
    c) 3 basamaklı 400 den büyük kaç çift sayı yazılabilir?
    d) 4 basamaklı sayılaradan kaç tanesi 3 ile başlar ve 4 ile biter?

    =Comic Sans MS]P(n,r) = n! dir. (r £ n)[/FOn –r)! [/font][/size]
    Not :

    Permütasyon ile kombinasyon arasındaki en önemli fark permütasyonda sıra önemli,kombinasyonda sıranın önemli olmamasıdır.Örneğin 5 tane numarasız birbirinin birbirinin aynısı formayı 5 kişiye dağıtmak tek şekilde olurken birden beşe kadar numaralanmış formaları 5 kişiye dağıtmak 5! Şekilde yapılabilir.Permütasyonla çözülebilen her soru aynı zamanda saymanın temel ilkesi ile de çözülebilir.

    Örnek :
    4 kişi aynı sıradaki 4 sandalyede kaç farklı biçimde oturabilir?

    Çözüm:

    P(4 , 4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 farklı biçimde oturabilir.

    Örnek :

    8 değişik renkte boya kalemi ile bir haritadaki 3 ili kaç değişik biçimde boyayabiliriz?

    Çözüm :


    =336 biçimde.

    Örnek :

    5 değişik fizik,3 değişik tarih ve 2 değişik felsefe kitapları aynı cins kitaplar yanyana gelmek üzere bir kitaplığın rafına kaç değişik biçimde sıralanabilirler?

    Çözüm :

    5 fizik kitabı kendi arasında 5! =120 farklı biçimde.
    3 tarih kitabı kendi arasında 3! = 6 farklı biçimde.
    2 felsefe kitabı kendi arasında 2! = 2 farklı biçimde dizilebilir.
    Bu 3 farklı kitapta kendi arasında 3! biçimde dizileceğinden genel çarpma kuralına göre ;
    5! . 3! . 2! . 3! = 120 . 6 . 2 . 6 = 8640 farklı biçimde dizilebilirler.

    TEKRARLI PERMÜTASYON


    dir.

    n elemanlı bir kümenin n tanesi bir türden, n tanesi başka türden, ....,n tanesi de r ninci türden ise bu n elemanın n li permütasyonlarının sayısı ;

    Not :

    Toplam n tane nesnenin (n1,n2, ...., nn) tanesi kendi arasında aynı olduğunda bu aynı elemanların belli durumlarda kendi aralarında yer değiştirdiklerinde yeni bir sıralama oluşmamaktadır.Bunların sayısının elenmesi gerekmektedir.Bu da n!i ; ( n1! . n2!. ...nn!)
    ile bölerek yapılır.

    Örnek :

    “ MARMARA” kelimesindeki harflerin yerlerini değiştirerek anlamlı yada anlamsız;
    a) 7 harfli kaç tane kelime yazılabilir?
    b) Bunların kaç tanesi M ile başlar M ile biter?
    c) Bunların kaç tanesi A ile başlar A ile biter?
    d) Bunların kaç tanesinde M ‘ler yanyanadır?
    e) Bunların kaç tanesinde A’ların üçü de yanyanadır?

    Çözüm :

    a) “MARMARA” kelimesindeki 7 harfin 2 tanesi kendi arasında aynı M ler, 2 tanesi kendi arasında aynı R ler , 3 tanesi kendi arasında A lar.

    Buna göre P(7,7) = 7! = 210 farklı kelime yazılabilir.
    3! .2! .2!

    b) M ile başlayıp M ile biten 7 harfi kelime sayısı

    M ARARA M
    ¯ ¯ ¯
    sbt kalan 5 harf sbt

    P(5,5) = 5! = 120 = 30
    2! 2! 4
    c) A ile başlayıp A ile biten 7 harfli kelime sayısı;

    A MRAMR A
    ¯ ¯ ¯

    sbt kalan 5 harf sbt

    d) M lerin ikisinde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı;

    MM A , R , R , A , A
    ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
    1. 2. 3. 4. 5. 6.

    P(6,6) = 6! = 60 tanedir.
    2! . 3!
    e) A ların üçününde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı

    A , A , A , M , M , R , R
    ¯ ¯ ¯ ¯ ¯






    KOMBİNASYON

    n elemanlı bir kümenin r elemanlı (r £ n ) her alt kümesine bu kümenin bir kombinasyonu denir.n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasyonlarının sayısı:





    Not :

    Permütasyon, bir kümenin elemanlarının değişik sıralanışlarının sayısıdır.Kombinasyon ise sıra gözetmeksizin bulunabilecek alt kümelerinin sayısıdır.Demek ki permütasyonda sıra önemli , kombinasyonda ise önemli değildir.

    Örnek :

    C( n,0) + C( n, 1) + C( n,2) = 56 ise n kaçtır?

    Çözüm :





    C( n,0) + C (n,1) + C ( n,2) = 56
    2 + 2n + n2– n = 56

    n + n – 54 = 0

    (n + 9 ) ( n – 6 ) = 0 ® n= - 9 ve n= 6 olur.

    -9 Ï IN olduğu için alınamaz.

    Örnek :

    P(n,3) = 4 . C(n,4) olması için n ne olmalıdır?

    Çözüm :

    n.(n – 1) . ( n-2 ) = 4 . P(n,4) / 4!


    n . ( n-1) . ( n-2 ) = 4 . n . ( n – 1) .( ( n – 2 ) ( n-3 )) / 4 . 3 . 2 . 1


    6 = n – 3 &THORN; n =9

    Örnek :

    C( n-1 , 2 ) + c( n-1 , 1 ) = 1 ise n nedir?
    Çözüm :

    (n , r) + (n , r-1) = (n +1,r) olduğundan,

    ( n-1,2 ) + ( n-1,1 ) = ( n,2 ) olur.

    ( n,2 ) = 1 &THORN; n = 2 dir.Çünkü ( 2,2 ) = 1 dir.

    ( n-1,2 ) = ( 1,2 ) dir.Oysa birer elemanlı kümenin ikili kombinasyonu olmayacağından
    Ç = Æ dir.


    BİNOM AÇILIMI

    (a . b)m = am . bm

    ( a )m = am dir. Fakat ( a ± b)m ¹ am ± bm dir.
    b bm

    Buna göre iki ya da daha fazla terim toplamının ya da farkının parantez kuvvetini açmak için kullanılan metodlardan biri paskal üçgeni,diğeri de binom açılımıdır.

    x,y Î R , n Î Z+ = {1 , 2 , 3 , .....} için (x + y)n =S (n,r) . xn-r . yr dir.

    Bu formüle binom açılımı denir.

    ( x +y )n = ( n ) . xn + ( n ) . xn-1 .y + .... + ( n ) . xn-r . yr + .... ( n ) . yn
    0 1 r n
    Bu formüle iki yada daha fazla terimli ifadelerin pozitif tam sayı olan kuvvetlerinin açılımları bulunur ( x+y )n açılımının.

    Özellikleri :

    1) ( x+y )n açılımında birbirinden farklı elde edilebilecek maksimum terim sayısı ( n+1 ) tanedir.

    2) Her terimdeki değişkenlerin kuvvetleri toplamı parantez kuvveti olan (n) e eşittir.Yani her terimdeki (x) ve (y) nin kuvvetleri toplamı n dir.

    3) ( x + y)n açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için parantez içindeki değişkenler ( x ve y ) yerine 1 konur.

    Buna göre;
    (1 + 1)n = 2n katsayılar toplamı olur.

    4) ( x +y)n açıldığında baştan ( r + 1) terim

    C( n , r ) x n-r . y r dir.

    5) ( n ) = ( n ) olduğundan ( x + y )n açılımındaki baştan ve
    r n - r
    sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları eşittir.


    6) (x + y)naçılımında (k < n) olmak üzere sondan k terimin baştan sırası (r)

    k = ( n + 2) – r ile bulunur.



    Örnek :

    ( 3a + b )4 açılımını yapınız.
    Çözüm :

    (3a + b)4 = (4 ) .(3a)4. b0 + (4) .(3a)3 . b1 + ( 4 ) (3a)2. b2 + ( 4 ) (3a) b3 + ( 4 )4 b
    0 1 2 3 4
    = 81 a4 + 108 a3b + 54 a2 b2 +12 ab3 + b4

    Yukarıda görüldüğü gibi (3a + b )4 açılımında toplam (4 + 1) = 5 tane terim elde edilip,burada 81 , 108 , 54 ,12 ve 1 katsayılardır.

    Katsayılar toplamı = 81 + 108 + 54 + 12 + 1 = 256 olur.

    Pratik olarak katsayılar toplamı = (3 . 1 + 1)4 =44 =256 olur.

    a=b= 1 için

    Örnek :

    ( a3 + 2 )12 açılımında terimleri “a” nın azalan kuvvetlerine göre sıralarsak ;
    a2
    a) Baştan 3. terim nedir?
    b) Baştan 4. terimin katsayısı nedir?
    c) Sondan 2. terim nedir?

    Çözüm :

    ( I +II )n açılımında baştan “r” inci terim = In – r +1 . II r –1 ile bulunacağından ;

    a) ( a3 + 2 )12 açılımında
    a2
    I= a3 , II = = 2 . a-2 n =12 r =3

    3.terim = (12 ) (a3)10 (2 . a-2)2 = 12 . 11 .a30 . 22 .(a-4 ) = 264 . a26 olur.
    2 2
    b) Baştan 4. terim de r = 4 olmalı

    4. terim = ( 12 ) (a3)9 (2 . a-2 )3 = 12 . 11 . 10 .a27 .23 .a-6
    3 3 . 2 . 1
    = 1760 a 21 olur ki burada katsayı : (1760) bulunur.

    c)Sondan 2. terimin baştan sırası olan r

    r = (12 + 2) – 2 = 12 olur.
    12. terim = (a3)1 (2a-a )11 = 12 . a3 . 211 . a-22 = 3 . 213 .a-20 bulunur.
    UYGULAMALAR


    Örnek :

    Spor toto oyununda 13 maçı da kesin bilmek için en az kaç kolon oynamak gerekir?

    Çözüm :

    Her maç için 0 , 1 , 2 olmak üzere 3 seçenek vardır.Saymanın temel ilkesine göre 13 maçıda kesin bilmek için

    3 . 3 . 3 . ..............3 = 313 kolon oynamak gerekir.










    Örnek :

    1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 rakamlarını kullanarak;
    a) 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
    b) 3 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
    ŞÜKrüCAN, antix1, DeS_pØt ve diğer 1 kişi bunu beğendiniz.

Sayfayı Paylaş