Logaritma Konu Anlatımı

Konu 'Matematik 11. Sınıf' bölümünde Özlem tarafından paylaşıldı.

Konu Durumu:
Mesaj gönderimine kapalı.
  1. Özlem

    Özlem Bu ülke sizi de unuttu(!) - SOMA Özel Üye

    Katılım:
    15 Ekim 2009
    Mesajlar:
    4.040
    Beğenileri:
    3.106
    Ödül Puanları:
    113
    Yer:
    Konya

    LOGARİTMA
    1. TANIM

    a R+ -{1} ve x R+ olmak üzere, ay = x eşitliğini ele alırsak.
    Bu eşitlikte; a değerini bulmak için kök alma, x değerini bulmak için kuvvet (üs) alma , y değerini bulmak içinde logaritma işlemi yapılır.
    a R+-{1}, x R+ ve y R olmak üzere,

    ay=x  y=loga x tir.

    Burada; y sayısı , x sayısının a tabanına göre logaritmasıdır.

    Örnekler:
    1) log2 8 = y  8= 2y  y = 3 tür.
    2) loga 64 = 3  64 = a3  a = 4 tür.
    3) log3 x = -2  x = 3-2  x = dur.
    4) loga a = x  a = ax  x = 1 dir.
    5) loga 1 = n  1 = an  n = 0 dır.
    6) log5 (-25) v= m  -25 = 5m  m R dir.

    Sonuç olarak:
    1) loga a = 1
    2) loga 1 = 0
    3)y = loga f(x)  f(x) > 0

    Örnek:
    Log5 (log3 (log2 x) ) = 0 olduğuna göre, x değerini bulalım.

    Çözüm:
    Log5 (log3 (log2 x) ) = 0  log3 (log2 x ) = 50 = 1  log2 x = 31  x = 23 = 8 dir.

    Örnek:
    Log3 (a3.b.c) = 5 log3 = 1 olduğuna göre, a.b çarpımını bulalım.

    Çözüm:
    log3(a3.b.c) = 5  a3.b.c = 35
    log3 =1  =31
    x
    a3.b3 = 36
    a.b = 32
    a.b = 9 dur.



    Örnek:
    log 3 a = 3 ve log b = 4 olduğuna göre a.b çarpımını bulalım.

    Çözüm:
    log 3 a = 3  a = 3  a = 2 dir.
    log b = 4  b = 4  b = 9 dur.
    Buradan, a.b = 18 dir.

    2. ÖZEL LOGARİTMALAR

    a) Bayağı Logaritma
    y = log10 x = log x fonksiyonuna 10 tabanında logaritma veya bayağı logaritma denir.

    Örnek:
    log10 10 = log10 = 1 dir.

    b) Doğal Logaritma
    e = 2,71828…. olmak üzere,
    y = loge x = ln x fonksiyonuna doğal logaritma denir.

    Örnek:
    Loge e = ln e = 1 dir.


    3. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ

    x,y R+ ve a R+ - {1} olmak üzere,

    1) loga (x.y) = loga x + loga y
    2) loga = loga x – loga y
    3) log xm = loga x
    4) loga x = loga y  x = y dir.


    Örnek:
    1) log 5 + log 2 = log (5.2) = log 10 =1
    2) log 300 – log 3 = log = log 100 = log (102) = 2. log 10 =2
    3) log25 125 = log 53 = log5 5 =




    Örnek:
    log (2x-y) = log x + log y olduğuna göre, y nin x türünden eşitini bulalım.

    Çözüm:
    log (2x-y) = log x + log y  log (2x-y) = log (x.y)
     2x – y = x.y
     2x = x.y +y
     2x = y. (x+1)
     y = dir.

    Örnek:
    log (a.b) = 3
    log = 1 olduğuna göre, a değerini bulalım.

    Çözüm:
    log (a.b) = 3  log a + log b = 3
    log = 1  log a – log b = 1
    +
    2 log a = 4
    log a = 2
    a= 102 = 100 dür.
    Örnek:
    log2 işleminin sonucunu bulalım.

    Çözüm:
    log2 = log2 =log2 = log2 2 = tür.

    Örnek:
    a = olduğuna göre, logb değerini bulalım.

    Çözüm:
    a =  logb = logb = logb = logb b = tür.

    Örnek:

    log 5 = a, log 3 = b, log 2 = c olduğuna göre, log (22,5) ifadesinin a,b,c türünden eşitini
    bulalım.





    Çözüm:

    log (22,5) = log = log = log 5 + log 32 – log 2 = log 5 + 2log 3 – log 2
    = a + 2b – c dir.

    Örnek:
    Log5 x2 = 6 + log 5 olduğuna göre, x değerini bulalım.

    Çözüm:
    Log5 x2 = 6 + log 5  2. log5 x = 6 + log5 x-1
     2. log5 x = 6 – log5 x
     3. log5 x = 6
     log5 x = 2
     x = 52 = 25 tir.

    Örnek:

    log 5 = n olduğuna göre, log 4 değerinin n türünden eşitini bulalım.

    Çözüm:

    log 4 = 2 log 2 = 2 log = 2. ( log10-log5) = 2(1-n) dir.

    a R+, a 1 ve x R+ olmak üzere,

    a = x tir. dır.

    Örnek:
    3 = 5, e ln3 = 3 ve 10logA =A dır.

    Örnek:
    9 = 10 = 10 = 102 = 100 dür.

    Taban Değiştirme Kuralı:

    ve R+ olmak üzere,
    = = = dır.






    Not:
    ve R+ olmak üzere,
    , olur.

    Örnek:
    log25 = olduğuna göre, log510 ifadesinin türünden eşitini bulalım.

    Çözüm:

    log510 = = = olur.


    4. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ

    Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğu için ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyona logaritma fonksiyonu denir.


    Y = loga x fonksiyonunun grafiği a nın durumuna göre çizilirse,

    1. a>1 için y
    y = ax

    1

    x
    1

    y = x y = loga x




    y
    2. 0<a<1 için y = ax
    y = x

    1

    x
    1

    y = loga x




    grafikleri elde edilir.
    Not:

    y = loga (mx + n)fonksiyonunun grafiği, aşağıdaki işlemler yapılarak çizilir.
    1) Logaritmanın tanımından, f(x) in grafiği, mx + n > 0 şartının sağlandığı bölgededir.
    2) y = 0 ve y = 1 için sırasıyla x0 ve x1 değerleri bulunur. Grafik, (x0,0) ve (x1,1) noktalarından geçer.


    Örnek:
    f(x) = log2 (x-1) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

    Çözüm:
    f(x) fonksiyonu, x-1>0  x>1 için tanımlıdır.
    y = 0 için, log2 (x-1) = 0  x = 2 ve
    y = 1 için, log2 (x-1) = 1  x = 3
    olduğundan grafik (2,0) ve (3,1) noktalarından geçer. Taban 1 den büyük olduğundan, verilen fonksiyonun grafiği,



    y




    1


    0
    x
    1 2 3
    y = log2(x-1)


    5. LOGARİTMA FONKSİYONUNUN TERSİ
    a R+-{1} ve x R+ olmak üzere,
    f(x) = loga x  f -1 (x) = ax tir.

    Örnek:

    f(x) = log5x  f –1 (x) = 5x tir.

    Örnek:
    f(x) = y = 2log5 x  x = 2.log5 f –1 (x)
    = log5 .f –1(x)  = f –1(x)
    f –1 (x) = tir.


    6. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER

    Bir eşitsizlik içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür eşitsizliklere logaritmalı eşitsizlikler denir.

    1) a>1 olmak üzere,
    loga f(x) loga g(x)  f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilmez.)
    2) 0<a<1 olmak üzere,
    loga f(x) loga g(x)  f(x) g(x) (eşitsizliğin yönü değiştirilir.)

    Örnek:
    log3 (log2(x-1)) > 0  log2 (x-1) > 30 = 1
     x-1 > 21
     x > 3 tür.

    Örnek:
    log2(x-3)<4  0 < x-3 <24
     3<x<19 dur.

    Örnek:
    log (3x-1) < 0  log (3x-1) < 0
     -log2 (3x-1) < 0
     log2 (3x-1) > 0
    3x-1 > 1
    x > tür.

    7. BAYAĞI LOGARİTMA

    a) Karekteristik ve Mantis

    x R+ , k Z ve 0 m<1 olmak üzere, log x = k+m eşitliğinde k tamsayısına x in logaritmasının karekteristiği, m reel sayısına da x in logaritmasının mantisi denir.

    Örnek:

    log 30 = 1,477 ifadesinde, 30 sayısının logaritmasının karekteristiği1 ve mantisi 0,477 dir.

    Örnek:

    log2 = 0,301 olduğuna göre, log(800) değerinin karekteristik ve mantisini bulalım.

    Çözüm:

    log (800) = log (23.102) = 2 + 3 log2
    = 2 + 3. (0,301)
    = 2 + 0,903
    = 2,903 olduğundan,
    karekteristik 2 ve mantis 0,903 olur.
    Not:
    ve
    olduğuna dikkat edilmelidir.

    Uyarı:

    1 den büyük pozitif tamsayıların basamak sayısı, sayının logaritmasının karekteristiğinin bir fazlasıdır.

    Örnek:

    log 2 = 0,301 olduğuna göre, (40)40 sayısının kaç basamaklı bir sayı olduğunu bulalım.

    Çözüm:
    Log (40)40 = 40. log(40)
    = 40. (log 22.10)
    = 40. (1 + 2 log 2)
    = 40. (1+ 0,602)
    = 64,08 olduğundan, karekteristik 64 ve basamak sayısı 65 tir.

    b) Kologaritma:

    x R+ olmak üzere, x in çarpmaya göre tersinin logaritmasına x in kologaritması denir ve colog x biçiminde gösterilir.

    Colog x = log = log x –1 = - log x tir.

    Örnek:

    log x = 1,73 olduğuna göre, colog x in karekteristiğini ve mantisini bulalım.

    Çözüm:

    log x = 1,73  colog x = - log x = -1,73 = -2 + 0,27 = dir.
    colog x in karekteristiği –2 ve mantisi 0,27 dir.

    Örnek:

    log A = olduğuna göre , colog A değerini bulalım.

    Çözüm:


    log A =  colog A = - ( )
    = - (-3 + 0,52)
    = 3 – 0,52
    = 2,48
    kübra963, t2orn ve benqiSu bunu beğendi.
  2. Özlem

    Özlem Bu ülke sizi de unuttu(!) - SOMA Özel Üye

    Katılım:
    15 Ekim 2009
    Mesajlar:
    4.040
    Beğenileri:
    3.106
    Ödül Puanları:
    113
    Yer:
    Konya
    LOGARİTMA

    I. ÜSTEL FONKSİYONLAR VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
    2y = 24 eşitliğini sağlayan y değerini bulmak için yapılan işleme üslü denklemi çözme denir. (y = 4)
    Buraya kadar anlatılan bilgiler 6a = 10 eşitliğini sağlayan a değerini bulmak için yeterli değildir. Bu eşitliği sağlayan a değerini bulmak için yapılan işleme logaritma alma denir.

    A. ÜSTEL FONKSİYONLAR

    [​IMG] olmak üzere,
    [​IMG]

    biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel fonksiyon adı verilir.
    a > 0 olduğundan f(x) = ax > 0 olur.

    B[​IMG] LOGARİTMA FONKSİYONU

    [​IMG] olmak üzere
    [​IMG]

    biçiminde tanımlanan üstel fonksiyonun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denir.
    [​IMG]
    şeklinde gösterilir. Buna göre,
    [​IMG]dir
    y = logax ifadesinde [​IMG] sayısına [​IMG] sayısının a tabanına göre logaritması denir
    t2orn ve benqiSu bunu beğendi.
  3. Özlem

    Özlem Bu ülke sizi de unuttu(!) - SOMA Özel Üye

    Katılım:
    15 Ekim 2009
    Mesajlar:
    4.040
    Beğenileri:
    3.106
    Ödül Puanları:
    113
    Yer:
    Konya
    C[​IMG] LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ

    Kural

    1 den farklı her a pozitif reel sayısının a tabanına göre logaritması 1 dir. Buna göre,
    [​IMG]

    Kural

    Her tabana göre, 1 in logaritması 0 dır. Buna göre
    [​IMG]

    Kural

    [​IMG]

    Kural

    [​IMG]

    Kural

    [​IMG]

    Kural

    [​IMG]

    D[​IMG] ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
    f(x) = logax fonksiyonunda taban a = 10 alınırsa f(x) fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu denir ve kısaca logx biçiminde gösterilir.

    [​IMG]

    1 den büyük sayıların on tabanına göre logaritması pozitiftir.
    1 den küçük pozitif sayıların on tabanına göre logaritması negatiftir.

    Kural

    x > 1 olmak üzere, x in onluk logaritmasının tam kısmı, x in basamak sayısının bir eksiğine eşittir.
    0 < y < 1 olmak üzere, y nin ondalık kesir biçiminde yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki sıfır sayısı K ise, logy nin eşitinin tam kısmı �(K � 1) dir.

    E[​IMG] DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
    f(x) = logax fonksiyonunda taban
    ℓ = 2,718281828459045235 360287471352.. alınırsa (ℓ sayısı irrasyonel bir sayı olup yaklaşık değeri 2,718 kabul edilir.) doğal logaritma fonksiyonu elde edilir. Doğal logaritma fonksiyonu kısaca lnx biçiminde gösterilir. Bu durumda,

    [​IMG]İşlemlerde genellikle logex yerine lnx ifadesi kullanılır[​IMG]

    II. LOGARİTMALI DENKLEMLER
    Özellik
    a sayısı 1 sayısından farklı bir pozitif sayı olmak üzere, tabanı a olan logaritmalı denklem,
    logaf(x) = b ise f(x) = ab dir.
    logaf(x) = logag(x) ise f(x) = g(x) dir.
    Logaritmalı denklemleri bu özellikleri kullanarak çözeriz.
    Logaritmanın tanımından, f(x) > 0 ve g(x) > 0 olmalıdır.


    III. LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
    Kural
    logaf(x) in işareti a ya bağlı olduğundan eşitsizlik çözümlerinde aşağıdaki bilgileri kullanırız.
    kübra963, t2orn ve benqiSu bunu beğendi.
  4. Özlem

    Özlem Bu ülke sizi de unuttu(!) - SOMA Özel Üye

    Katılım:
    15 Ekim 2009
    Mesajlar:
    4.040
    Beğenileri:
    3.106
    Ödül Puanları:
    113
    Yer:
    Konya
    Logaritma konu anlatimina farklı ve gayet başarılı bir sunum.İyi çalışmalar...


    [​IMG]

    Üye Olmadan Linkleri Göremezsiniz. Üye Olmak için TIKLAYIN...

    (Boyut: 1.27 MB / İndirilme: 2559)
    kübra963, t2orn ve benqiSu bunu beğendi.
  5. benqiSu

    benqiSu Üye

    Katılım:
    25 Eylül 2011
    Mesajlar:
    215
    Beğenileri:
    153
    Ödül Puanları:
    0
    Emeğine sağlık :)
    kübra963 ve t2orn bunu beğendi.
Konu Durumu:
Mesaj gönderimine kapalı.

Sayfayı Paylaş