Modüler Aritmetik - Konu Anlatımı

Konu 'Matematik Ders Notları' bölümünde DeadLy11 tarafından paylaşıldı.

  1. DeadLy11

    DeadLy11 Forumdan Uzaklaştırıldı

    Katılım:
    6 Ocak 2011
    Mesajlar:
    75
    Beğenileri:
    218
    Ödül Puanları:
    0

    MODÜLER ARİTMETİK



    MODÜLER ARİTMETİK

    a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

    b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

    bir denklik bağıntısıdır.

    b denklik bağıntısı olduğundan

    Her (a, b) Î b için,

    a º b (mod m)

    biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

    Ü



    Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar, 0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

    Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları



    Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve biçiminde gösterilir.

    Buna göre,



    Ü

    n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

    a º b (mod m)

    c º d (mod m)

    olmak üzere,

    a + c º b + d (mod m)

    a – c º b – d (mod m)

    a × c º b × d (mod m)

    an º bn (mod m)

    a – b º 0 (mod m)

    k × a º k × b (mod m) dir.

    n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise dir.

    a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir.

    deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.


    Ü

    Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,

    xm–1 º 1 (mod m) dir.

    x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

    Ü

    x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hâli m = ak . b r . c p olmak üzere,




    m asal sayı ise,

    (m – 1)! + 1 º 0 (mod m) dir.

Sayfayı Paylaş