trigonometri...

Konu 'Matematik 10. Sınıf' bölümünde zodiak92 tarafından paylaşıldı.

  1. zodiak92

    zodiak92 Üye

    Katılım:
    12 Kasım 2008
    Mesajlar:
    16
    Beğenileri:
    3
    Ödül Puanları:
    0

    trigonometri 2


    I. PERİYODİK FONKSİYONLAR
    f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun.
    f : A -> B
    Her x Î A için f(x + T) = f(x) olacak şekilde sıfırdan farklı en az bir T reel sayısı varsa; f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T <> 0 reel sayısına f nin periyodu denir.

    I. PERİYODİK FONKSİYONLAR

    f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun.

    f : A ® B

    Her x Î A için f(x + T) = f(x)

    olacak şekilde sıfırdan farklı en az bir T reel sayısı varsa; f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T ¹ 0 reel sayısına f nin periyodu denir. Bu eşitliği gerçekleyen birden fazla T reel sayısı varsa, bunların pozitif olanlarının en küçüğüne f fonksiyonunun esas periyodu denir.

    f(x) in esas periyodu T ise, k tam sayı olmak üzere,

    f(x) in periyodu k × T dir.



    TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN PERİYOTLARI

    olduğu için sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonları periyodiktir.

    sinx ve cosx fonksiyonlarının periyodu 2kp, tanx ve cotx fonksiyonlarının periyodu kp dir.

    sinx ve cosx fonksiyonlarının esas periyodu (k = 1 için) 2p; tanx ve cotx fonksiyonlarının esas periyodu p dir.



    Kural

    a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,

    f(x) = a + b × sinm(cx + d)

    g(x) = a + b × cosm(cx + d)

    fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.

    Bu durumda,



    olur.



    Kural

    a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak üzere,

    f(x) = a + b × tanm(cx + d)

    g(x) = a + b × cotm(cx + d)

    fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.

    Bu durumda,





    Kural



    fonksiyonlarının esas periyodu, g(x) ve h(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşittir.



    Uyarı

    Buradaki kesirleri en sade biçimde olmalıdır.



    Uyarı

    f(x) = h(x) × g(x) olmak üzere, f(x) in esas periyodu, h(x) ve g(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak katına (e.k.o.k. una) eşit olmayabilir.

    Eğer, f(x) = h(x) × g(x) in esas periyodu bulunacaksa, f(x) i fonksiyonların toplamı biçiminde yazarız. Sonrada toplanan fonksiyonların esas periyotlarının en küçük ortak katı alınır.

    Yukarıdaki açıklamalar bölünen fonksiyonlar için de geçerlidir.





    II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

    Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,

    1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.

    2. Bulunan periyoda uygun bir aralık seçilir.

    3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu yapılır. Bunun için, fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı değerlerin tablosu yapılır. Tabloda fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden küçük ise (aldığı değer artmış ise) o aralığa sembolünü yazarız. Eğer, fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden büyük ise (aldığı değer azalmış ise) o aralığa sembolünü yazarız.

    4. Seçilen bir periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği çizilir. Oluşan grafik, fonksiyonun periyodu aralığında tekrarlanacağı unutulmamalıdır.



    A. SİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ



    fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.



    B. KOSİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ



    fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.



    Sonuç

    fonksiyonu bire bir ve

    örtendir.

    fonksiyonu bire bir ve

    örtendir.





    C. TANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ



    fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.



    D. KOTANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ



    fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.



    Sonuç

    fonksiyonu bire bir ve



    örtendir.

    fonksiyonu bire bir ve örtendir.





    III. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR

    A. ARKSİNÜS FONKSİYONU

    f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.

    Bu durumda,



    fonksiyonunun tersi,

    f–1(x) = sin–1x veya f–1(x) = arcsinx

    şeklinde gösterilir ve



    B. ARKKOSİNÜS FONKSİYONU

    f(x) = cosx fonksiyonunun tanım aralığı

    [0, p] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu durumda,

    f : [0, p] ® [–1, 1]

    f(x) = cosx

    fonksiyonunun tersi,

    f–1(x) = cos–1x veya f–1(x) = arccosx

    şeklinde gösterilir ve

    arccos : [–1, 1] ® [0, p] dir.



    C. ARKTANJANT FONKSİYONU

    f(x) = tanx fonksiyonunun tanım aralığı

    alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur.



    Bu durumda,



    fonksiyonunun tersi,

    f–1(x) = tan–1x veya f–1(x) = arctanx

    şeklinde gösterilir ve



    D. ARKKOTANJANT FONKSİYONU



    fonksiyonu bire bir ve örtendir.



    fonksiyonuna cotx in ters fonksiyonu denir. Kotanjant fonksiyonunun tersi,



    şeklinde gösterilir.



    Sonuç

    Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters fonksiyonu fonksiyonun kendisine eşittir.

    sin(arcsinx) = x tir.

    cos(arccosx) = x tir.

    tan(arctanx) = x tir.

    cot(arccotx) = x tir.



    Sonuç

    q = arcsinx ise, x = sinq dır.

    q = arccosx ise, x = cosq dır.

    q = arctanx ise, x = tanq dır.

    q = arccotx ise, x = cotq dır.





    IV. ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR

    A. SİNÜS TEOREMİ

    Kural

    Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c; çevrel çemberinin yarıçapı R birim olmak üzere,



    B. KOSİNÜS TEOREMİ

    Kural

    Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,



    a2 = b2 + c2 – 2 × b × c × cosA dır.

    b2 = a2 + c2 – 2 × a × c × cosB dir.

    c2 = a2 + b2 – 2 × a × b × cosC dir.



    C. ÜÇGENİN ALANI

    Sonuç

    Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak üzere,
    Son düzenleyen: Moderatör: 6 Haziran 2010
  2. zodiak92

    zodiak92 Üye

    Katılım:
    12 Kasım 2008
    Mesajlar:
    16
    Beğenileri:
    3
    Ödül Puanları:
    0
    trigonometri 3

    I. İKİ YAY TOPL*****N veya FARKININ TRİGONOMETRİK ORANLAR
    Kural

    olmak üzere, a × sinx + b × cosx in alabileceği;

    en büyük değer

    en küçük değer dir.
    a × sinx + b × cosx in alabileceği;

    en büyük değer

    en küçük değer dir.
    en büyük değer

    en küçük değer dir.
    en küçük değer dir.





    II. YARIM AÇI FORMÜLLERİ
    II. YARIM AÇI FORMÜLLERİ


    III. DÖNÜŞÜM ve TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

    A. DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

    Toplam durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

    A. DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

    Toplam durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

    Toplam durumundaki trigonometrik ifadeleri, çarpım biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.



    B. TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ

    Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri, toplam biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.

    Çarpım durumundaki trigonometrik ifadeleri, toplam biçimine getirmeye yarayan trigonometrik eşitliklere ters dönüşüm formülleri denir. Bu formüller, toplam ve fark formüllerinden elde edilir.
  3. zodiak92

    zodiak92 Üye

    Katılım:
    12 Kasım 2008
    Mesajlar:
    16
    Beğenileri:
    3
    Ödül Puanları:
    0
    TRigonometri 4

    TRİGONOMETRİK DENKLEMLER

    İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere, trigonometrik denklemler denir. Denklemi sağlayan değerlere, denklemin kökleri; köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir. Çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir.



    A. cosx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

    Kosinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.

    İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan, bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere, trigonometrik denklemler denir. Denklemi sağlayan değerlere, denklemin kökleri; köklerin oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir. Çözüm kümesini bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir.



    A. cosx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

    Kosinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.



    A. cosx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

    Kosinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.

    Kosinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.



    olmak üzere,

    C noktasına a + k × 2p ve

    D noktasına –a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.

    Bu durumda, cosx = a nın çözüm kümesi,
    cosx = a nın çözüm kümesi,



    olur.



    Sonuç

    cosx = cosa biçimindeki denklemlerin çözüm kümesi:



    dir.



    B. sinx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

    Sinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.

    Sinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve D noktaları olsun.



    olmak üzere,

    C noktasına a + k × 2p ve

    D noktasına p – a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.

    Bu durumda,

    sinx = a nın çözüm kümesi,
    sinx = a nın çözüm kümesi,



    olur.



    C. tanx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

    Tanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.
    C. tanx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

    Tanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.
    Tanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.



    olmak üzere,

    C noktasına a + k × 2p ve

    E noktasına

    p + a + k × 2p reel sayısı karşılık gelir.

    Her iki açının da tanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.

    Tanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan tanx = a nın çözüm kümesi,
    tanx = a nın çözüm kümesi,





    D. cotx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

    Kotanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.



    D. cotx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ

    Kotanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.

    Kotanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri C ve E noktaları olsun.



    olmak üzere,

    C noktasına,

    a + k × 2p ve

    E noktasına,

    p + a + k × 2p

    reel sayısı karşılık gelir.

    Her iki açının da kotanjant eksenindeki görüntüsü D noktasıdır.

    Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan cotx = a nın çözüm kümesi,


    cotx = a nın çözüm kümesi,



    Uyarı

    Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki kökü istendiğinde, denklemin çözüm kümesi bulunur. Daha sonra k yerine, ... , –1, 0, 1, ... tam sayıları yazılarak kökler bulunur. Bu köklerden verilen aralıkta olanları alınır.

Sayfayı Paylaş